Teorema Fundamental do Cálculo
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O teorema fundamental do cálculo diz que, se f (x) é contínua entre um e b , o integrante de x = um de x = b de f (x) dx é igual a F (b) – F (a) , onde o derivada de F em relação a x é igual af (x) . O grande F é o que chamamos de anti-derivado do pequeno f . Este é um dos pontos mais importantes em toda a matemática e é chamado de teorema fundamental do cálculo. Mas o que diabos significa «fundamental»?
Vejamos um gráfico de velocidade em função do tempo – então este é f (t) – entre algum ponto no tempo a e algum ponto no tempo b . Digamos que f (t) é constante entre um e b , apenas para fazer coisas simples. Eu sei que, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, a integral de a até b de ‘ f (t) dt – então essa é a área sob esta curva – é igual a F (b) – F (a) , onde F` (t) = f (t) . Esse é o teorema fundamental do cálculo. Mas vamos dar uma olhada nisso.
Teorema Fundamental na Prática
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Digamos f (t) = 30 milhas por hora (mph). Vamos primeiro encontrar um F do qual você pode derivar para obter 30. Então, aqui eu quero encontrar o que é chamado de uma anti-derivada de f . Digamos que F = 30 t . Se eu tirar a derivada de 30 t , obtenho d / dt (30 t ), que é igual a 30 d / dt ( t ), que é apenas 30. Então, agora, eu sei que F` (t) = f e a derivada de 30 t é igual a 30, então a derivada disso é igual a isso.
Ok, agora eu tenho f (t) , que é 30, e meu anti-derivado aqui é 30 t , então vamos conectá-los. Digamos que eu tenho minha velocidade aqui, 30, e estou integrando entre a e b . De acordo com o teorema fundamental, isso é igual a F (b) , então isso é F , que é 30 t , avaliado em t = b , de modo que é igual a 30 b – F (a) , que é 30 a . Portanto, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, a integral de a até b de 30 dt = 30 b – 30a . Posso simplificar este lado direito para igual a 30 ( b – a ). Bem, vamos dar uma olhada em nosso gráfico. Nosso gráfico é apenas uma linha reta, então a integral neste caso é apenas este retângulo aqui. Bem, a área de um retângulo é a altura vezes a largura. Minha altura é 30, porque f (t) = 30. Minha largura é b – a . Então, com certeza, isso é o que este lado direito é igual: ele é igual a minha altura vezes minha largura, que é exatamente a área. Então, isso funciona, mas o que significa?
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Vamos dar uma olhada no que é esse anti-derivado. Esta anti-derivada, F` (t) , está realmente dizendo dF / dt . Eu posso escrever F`t = f (t) é o mesmo que dF / dt = f (t) , certo? Então, o que está do lado esquerdo? Lembre-se que um derivado é apenas uma ladeira, então esta é a inclinação da tangente desta função, F . Em uma escala muito, muito pequena, eu poderia escrever isso como delta F / delta t . Portanto, é como encontrar uma inclinação em um gráfico. A diferença na altura, F , dividida pela diferença em t . Então, se eu escrever dF / dt como delta F /delta t à esquerda, e mantenho meu f (t) do lado direito, bem, eu poderia multiplicar ambos os lados por delta t , então essa é a minha mudança no tempo aqui, e acabo com a mudança neste anti -derivado, F = f (t) delta t . Mas espere um segundo: f (t) delta t – é como um retângulo de Riemann! É apenas minha altura vezes minha largura, esta área bem aqui. Se eu começar a somar tudo isso, vou acabar com uma integral para pequenos delta t ‘s. Então meio que faz sentido; se eu somar todos, acabo com o lado esquerdo do meu teorema fundamental. Acabo com a área sob a curva – esta é uma soma de Riemann. Meu delta F é minha mudança emF – isso é tudo que é o lado direito. É a mudança em F entre um ponto e outro ponto.
Ok, então ver é meio difícil no começo. Mas o que isso realmente significa, do ponto de vista prático? Isso significa que se você tem alguma função funky e deseja encontrar a área sob esta curva, tudo que você precisa saber é uma função da qual esta é a derivada. Você só precisa encontrar a anti-derivada dessa função. Depois de fazer isso, encontrar a área é fácil. Portanto, não há mais somas de Riemann, não há mais limites infinitos. Tudo que você precisa fazer é encontrar um anti-derivado. Isso – acredite em mim – tornará sua vida muito, muito feliz.
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Resumo da lição
Portanto, vamos revisar o teorema fundamental do cálculo . Se algum f (x) é contínuo entre o ponto a e o ponto b , então posso escrever a integral de a para b de f (x) dx como sendo igual à anti-derivada em b menos a anti-derivada em a , onde a anti-derivada é uma função tal que quando você tira a derivada dela, você acaba com f (x) de volta.