O que é um diagrama de Venn?
O lógico inglês John Venn foi o inventor do diagrama de Venn em 1880. Ele construiu o diagrama de Venn para ajudar a ilustrar as relações de inclusão e exclusão entre os conjuntos, exceto que não o chamou de ‘diagrama de Venn’. Ele chamou os círculos de ‘círculos Eulerianos’. Clarence Lewis referiu-se ao diagrama como o diagrama de Venn em seu livro, A Survey of Symbolic Logic in 1918.
Os diagramas de Venn são ilustrações de círculos que representam semelhanças ou diferenças entre dois conjuntos. O que são conjuntos, você pode perguntar? Um conjunto é simplesmente um agrupamento ou coleção de itens. Os itens em um conjunto são chamados de elementos . Você indica os elementos em um conjunto colocando {colchetes} ao redor deles.
Para um exemplo rápido, se você tem o conjunto {Andrew, Tyler, Michelle} de pessoas em sua aula de música e o conjunto {Leo, Ava, Lia} de pessoas em sua aula de ciências, você pode colocar esses conjuntos em círculos para ilustrar melhor quem está em cada classe.
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Você pode ver claramente quem está na sua aula de música e ciências e quem está na sua aula de ciências. Mas, se você quiser mostrar que Tyler e Leo estão em suas aulas de música e ciências, você pode usar um diagrama de Venn.
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É importante observar o que é um conjunto universal. Se houvesse um retângulo fora do diagrama de Venn, que englobasse ambos os círculos de conjuntos, seria chamado de conjunto universal . O conjunto universal é indicado pelo U maiúsculo na imagem. Em nosso exemplo, poderíamos dizer que o conjunto universal é ‘escola’.
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Um diagrama de Venn nem sempre é composto por dois círculos. Para problemas e situações mais complicadas, os diagramas de Venn podem ser vários círculos.
Tipos de Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn são úteis para ilustrar vários tipos de relacionamentos.
Conjuntos disjuntos
Tomando o exemplo da aula de ciências e matemática anterior, o diagrama inicial representa conjuntos disjuntos porque os dois conjuntos (aula de ciências e música) não têm semelhanças. Os alunos da aula de música estão apenas na sua aula de música e os alunos da aula de ciências estão apenas na sua aula de ciências. Não há relação entre os dois. Conjuntos disjuntos são sempre representados por círculos separados.
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Intersecções
Tomando o exemplo anterior do diagrama de Venn de conjunto separado, se você sobrepor os círculos, isso indica uma interseção. A interseção representa os elementos que estão em ambos os conjuntos. Ele representa a semelhança entre os conjuntos. Portanto, no exemplo da aula de música e ciências, a interseção é indicada em cinza e significa que Tyler e Leo estão em suas aulas de música e ciências.
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Uma interseção forma outro conjunto. Ele pode ser indicado por escrito por um U de cabeça para baixo e terá a seguinte aparência:
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Se voltássemos ao exemplo dos dois conjuntos disjuntos com dois círculos separados, eles não formariam nenhuma interseção. Isso é chamado de conjunto vazio e pode ser escrito assim:
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O círculo com a linha inclinada através dele significa que há um conjunto vazio devido aos conjuntos disjuntos.
Sindicatos
Uma união é o conjunto de elementos contidos em ambos os conjuntos, incluídos apenas uma vez. Vejamos o diagrama de Venn com os conjuntos A , B e C sobrepostos .
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Escreveríamos essa união incluindo cada elemento de A , B e C apenas uma vez, mesmo se houver elementos de repetição dentro dos conjuntos. Seria assim:
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Complementos
Complementos são maneiras de dizer ‘tudo o que não é’. É indicado por um pequeno c . Usando o diagrama de Venn da seção sindicatos, se queríamos mostrar ‘tudo o que não está em A ,’ poderíamos sombrear todas as outras áreas, exceto para um .
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Este diagrama de Venn que representa um complemento pode ser escrito assim:
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Subconjuntos
Os diagramas de Venn podem ser usados para indicar subconjuntos. Se um pequeno círculo estiver dentro de um círculo maior, pode-se dizer que o círculo menor engloba as propriedades do círculo maior e é, portanto, um subconjunto do círculo maior. Nesta ilustração, o grande círculo abrange todos os animais com asas. O círculo menor é formado por dinossauros com asas, que é um subconjunto de animais com asas. O círculo maior é, na verdade, um subconjunto do conjunto universal, que é ‘animais’.
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Diagramas de Venn e problemas com palavras
Mary precisa fazer cones de neve para a maioria dos alunos de sua classe de 50 alunos (incluindo ela) para o dia de campo do ensino médio. Ela só tem dois sabores: cereja e framboesa azul. 30 alunos querem um cone de neve com sabor de cereja e 20 querem um cone de neve com sabor de framboesa azul, mas 15 deles querem um cone de neve com sabor de cereja e framboesa azul. Quantos alunos no total querem um cone de neve?
Neste exemplo, desenharíamos um diagrama de Venn com dois círculos dentro de um retângulo. O retângulo indicaria que há 50 alunos em sua classe. O primeiro círculo indicaria sabor de cereja. O segundo círculo indicaria sabor de framboesa azul. A área compartilhada dos círculos indicaria os alunos que desejam os sabores de cereja e framboesa azul. Porque 15 dos 30 alunos que querem um cone de neve com sabor de cereja querem cereja e framboesa azul, você subtrairia 15 de 30, dando a 15 crianças que querem apenas um cone de neve com sabor de cereja. Porque 15 dos 20 alunos que querem um cone de neve com sabor de framboesa azul querem cereja e framboesa azul, você subtrairia 15 de 20, dando a 5 crianças que querem apenas um cone de neve com sabor de framboesa azul. No final,
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Resumo da lição
Os diagramas de Venn foram criados por John Venn em 1880, embora não fossem chamados de diagramas de Venn até que Clarence Lewis os chamasse assim em seu livro, publicado em 1918. Eles são círculos que mostram semelhanças e diferenças entre dois ou mais conjuntos. Um conjunto é um grupo de itens, indicados por {colchetes}. Existem cinco tipos de diagramas de Venn. Um diagrama é denominado disjunto se não houver semelhanças, o que significa que há dois círculos separados. As intersecções são onde os círculos se sobrepõem para mostrar uma semelhança. As uniões são conjuntos de elementos contidos em ambos os conjuntos, mas incluídos apenas uma vez, o que significa que você os escreve apenas uma vez, mesmo que apareçam várias vezes. Complementosmostra tudo o que não é um conjunto específico. Finalmente, os subconjuntos mostram um conjunto que faz parte de um conjunto maior.