O que é uma série finita?
A maioria das coisas neste planeta são finitas. Eles têm um fim. Quando você olha para a praia, pode ver que ela tem um começo e um fim. Mas, o que acontece quando você começa a contar? Você pode continuar contando para sempre porque os números não têm fim. Eles são infinitos.
Mas, para que nossa matemática faça sentido, impomos limites aos números. Por exemplo, podemos contar o número de filhos que temos, mas paramos quando alcançamos o número (1 criança, 2 filhos, temos 2 filhos). Não continuamos contando quando nos referimos a esses números porque eles são finitos. Quando se trata de série, a soma de uma sequência de números, muitas vezes procuramos um fim para que possamos entendê-los. Quando nossas séries terminam, são chamadas de séries finitas . São essas séries finitas que você aprenderá nesta lição.
Agora, essas séries finitas nem sempre são estritamente números. Eles também podem ser termos polinomiais, como estes:
- x 2 + 2x + 1
- x + 1
- x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Todos eles têm apenas um determinado número de termos. Você pode contar o número de termos. Isso é o que os torna séries finitas. Eles têm um fim. Eles não continuam para sempre.
O Teorema Binomial
Quando seus termos polinomiais seguem um certo padrão, você entra no Teorema Binomial. O Teorema Binomial é um teorema muito útil para multiplicar polinômios desta forma:
- ( a + b ) n
O a e b representam os termos e o n representa um número inteiro. Quando o n é um inteiro e tem um fim definido, esse tipo de multiplicação polinomial fornece uma série finita de termos quando você a multiplica.
O teorema binário afirma que quando você tem um tal polinomial ao n º grau, a sua resposta pode ser encontrada por este somatório.
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A parte entre parênteses é uma operação matemática chamada » escolher », então você diz n escolher k . É definido desta forma.
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É muito trabalho fatorial, e você terá que fazer isso com cada mudança em seu valor de k até n .
À primeira vista, o Teorema Binomial pode parecer realmente tornar sua vida mais difícil, mas se você reservar um tempo para usá-lo, ele realmente economizará seu tempo, especialmente quando seus valores de n ficarem maiores. Multiplicar pode ser meio complicado. Com o Teorema Binomial, você só precisará realizar um cálculo para cada termo de sua resposta. Não entraremos em detalhes aqui nesta lição.
O Espaço Finito de Amostra
Outra coisa que você entra com as séries finitas é um espaço de amostra finito. Como suas respostas são limitadas, seu espaço de amostra é limitado a essas respostas. Um espaço de amostra finito é uma coleção limitada de resultados ou respostas. Isso significa que você será capaz de contar o número de respostas que possui. Por outro lado, um espaço amostral infinito não é limitado, o que significa que você tem um número infinito de respostas.
Ao procurar as raízes dos polinômios (valores que definem o polinômio igual a zero), é fácil determinar o tamanho do seu espaço de amostra finito. Tudo o que você precisa fazer é examinar o grau do polinômio. Isso informa quantas raízes são possíveis. Esse número limitado de raízes constitui seu espaço finito de amostra. Por exemplo, um polinômio quadrático de grau 2 terá 2 raízes possíveis. Se ambos forem válidos, o espaço amostral finito tem 2 respostas. Se apenas 1 das raízes possíveis for válida, então o espaço amostral finito tem 1 resposta.
Permutações e combinações
Outra área que se relaciona com as séries finitas é a das permutações e combinações. Permutações e combinações lidam com as maneiras possíveis pelas quais você pode combinar um grupo de coisas. Com permutações, a ordem é importante, mas com combinações, a ordem dos itens não é importante.
Dê uma olhada nessas fórmulas para permutações e combinações quando você tiver n itens no total e estiver escolhendo r itens do grupo. Todas essas fórmulas são uma forma de somar rapidamente os resultados desejados de suas permutações ou combinações possíveis.
| Permutação sem repetição | n! / (nr)! |
| Permutação com repetição | n r |
| Combinação sem repetição | n! / (r! (n – r)!) = n escolha r |
| Combinação com repetição | (r + n – 1)! / (r! (n – 1)!) = r + n – 1 escolha r |
Agora, apenas pense. O que aconteceria se você tivesse um número infinito de itens para lidar, uma série infinita? Imagine rolar um par de dados com lados infinitos e tentar encontrar o número de maneiras possíveis de o lançamento resultar em um número primo (2, 3, 5, qualquer número cujos únicos fatores sejam 1 e ele mesmo). Há um número infinito de resultados e, para somar a isso, há um número infinito de números primos. Você definitivamente vai ter alguns problemas!
Para poder usar essas fórmulas de permutação e combinação de maneira direta, você precisa de uma série finita e um espaço de amostra finito.
Aqui estão alguns exemplos de espaços de amostra finitos usados em fórmulas de permutação e combinação:
- Escolhas nos dados com um número limitado de lados
- Letras de a a z
- Números de 0 a 9
Todos esses são espaços de amostra finitos porque têm um número limitado de itens. Você pode contar o número de itens e não pode continuar adicionando mais e mais itens porque são tantos.
Resumo da lição
Vamos revisar.
Uma série finita é o somatório de uma sequência que tem um fim. Eles não duram para sempre.
O teorema binário afirma que quando você tem um polinômio finito de forma (a + b) ao n º grau, onde a e b são termos, a sua resposta pode ser encontrada por este somatório.
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As séries finitas também possuem espaços de amostra finitos. Um espaço de amostra finito é uma coleção limitada de resultados ou respostas. Freqüentemente, contamos com espaços de amostra finitos para cálculos de permutação e combinação, uma vez que se aventurar no além infinito pode levá-los a lugar nenhum ou a todos os lugares ao mesmo tempo.