Funções Exponenciais
Se você pensar em funções com expoentes, provavelmente está acostumado a ver algo assim.
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Esse é o gráfico de y = x 2 , e é realmente uma função com um expoente. Mas não é uma função exponencial.
Em uma função exponencial , a variável independente, ou valor x, é o expoente, enquanto a base é uma constante. Por exemplo, y = 2 x seria uma função exponencial. Aqui está o que parece.
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A fórmula para uma função exponencial é y = ab x , onde a e b são constantes. Você pode ver que isso está de acordo com o padrão básico de uma função, onde você insere algum valor de x e obtém algum valor de y . Mas para que servem as duas constantes? Por que você precisa de dois?
Para ilustrar isso, vejamos um exemplo de algo que você pode expressar com uma função exponencial. Neste exemplo, veremos a popularidade dos telefones celulares.
Função de exemplo
Sempre que uma nova tecnologia é lançada, nem todas as pessoas correm para pegá-la de uma vez. Ele começa com apenas algumas pessoas e, gradualmente, ele pega mais e mais e, então, todos estão usando.
Ei, isso parece uma função exponencial!
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Por exemplo, vamos pegar os telefones celulares. Na época do homem das cavernas, também conhecido como década de 1980, os telefones celulares eram muito raros. Sem entrar nos números exatos, digamos que em 1980, cinco pessoas em sua cidade tinham um telefone celular.
Ao longo daquele ano, cada uma dessas pessoas persuadiu um amigo a conseguir um telefone, então você tinha dez pessoas com telefones após um ano. Então, cada uma dessas pessoas persuadiu um amigo a comprar um telefone, então, depois de dois anos, havia 20 pessoas com telefones.
Se você dobrar o número todos os anos, obterá um número realmente enorme muito rápido – esse é o ponto principal de uma função exponencial. A cada ano, o número aumenta em uma quantidade crescente.
Agora vamos voltar à nossa equação para uma função exponencial: y = ab x .
Y é o número de pessoas com telefones, porque essa é nossa variável dependente. X é o número de anos desde 1980, porque essa é nossa variável independente.
Começamos com apenas cinco pessoas com telefones celulares, então 5 é nosso valor inicial , o valor inicial da função, representado pela constante a . No primeiro ano, multiplicamos isso por 2.
No segundo ano, que levou o nosso número a partir do primeiro ano e multiplicado que por 2. Isso nos dá 5 x 2 x 2, o que equivale a 5 vezes 2 ao quadrado. O resultado foi 20 pessoas. No terceiro ano, cada uma dessas 20 pessoas convenceu um amigo a comprar um telefone, então simplesmente tivemos que multiplicar por 2 novamente. Isso nos deu 5 x 2 x 2 x 2, ou 5 vezes 2 à terceira potência, que é igual a 40. Você pode ver o padrão aqui: estamos adicionando 1 ao expoente a cada ano, o que significa que multiplicamos 2 por ele mesmo uma vez adicional a cada ano. Neste exemplo, 2 representa o número multiplicado repetidamente a cada passo , o valor elevado à potência de x , representado pela constante b .
É por isso que precisamos de duas constantes na equação: uma para o valor original e outra para o valor elevado à potência de x . Isso pode ser um pouco confuso, porque muitas funções exponenciais começam com apenas uma coisa, então a = 1. 1 vez qualquer número é o mesmo número, então parece que a função é apenas y = b x . Mas não se confunda: um ainda está lá! É igual a 1.
Outro exemplo
Uma maneira comum de ver funções exponenciais descritas em palavras é com uma frase como ‘aumenta ou diminui _____% ao ano’. Por exemplo, um investimento aumenta o valor em um por cento ao ano. Se você estiver calculando os juros de um empréstimo, usará esse tipo de equação.
Vamos dar uma olhada em um exemplo de problema para ver como funciona.
Um investidor compra um imóvel em uma área promissora da cidade. Conforme a área fica mais bonita, o valor da propriedade aumenta. O valor da propriedade aumenta 2% ao ano. Se o investidor o comprou originalmente por $ 500.000, quanto valerá depois de cinco anos?
Vamos inserir isso em nossa fórmula de função exponencial, y = ab x .
X é o número de anos após a compra inicial. Y é o valor da propriedade. Estas são nossas variáveis de entrada e saída.
A representa o valor inicial da função. O valor inicial desta propriedade é 500.000, então vamos conectar isso para um . Agora, a parte complicada é descobrir b .
No primeiro problema, b era 2, porque tínhamos o dobro de usuários de celular por ano. Nesse caso, a propriedade vale apenas 2%, ou 0,02 dólares a mais, então seu valor está aumentando mais lentamente. Você pode ficar tentado a conectar 0,02 para b , mas apenas dê uma olhada e veja o que acontece quando você faz o gráfico.
Você pode ver imediatamente que isso não é um aumento de valor! Isso nos dá uma função que mostra quanto valeria a propriedade se todos os anos fosse avaliada em 2% de seu valor no ano anterior. Mas não queremos dois por cento de seu valor no ano anterior; queremos dois por cento a mais do que seu valor no ano anterior. Para conseguir isso, teríamos que multiplicar por 1,02.
y = 500.000 * 1,02 x
Se determinarmos alguns dos valores desta função, obtemos:
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Aqui está a aparência de um gráfico.
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Ah, assim está melhor! Você não consegue ver a inclinação ficando mais acentuada porque os números são muito grandes, mas observe como y está aumentando um pouco mais a cada vez – primeiro ele aumenta em 10.000, depois em 10.200, depois em 10.404 e assim por diante.
Você pode ver que, se fizer as contas à mão, os resultados serão os mesmos valores obtidos com a função; multiplicar o valor de cada ano por 1,02 para encontrar o aumento de dois por cento fornece os mesmos valores para cada ano. Portanto, para o ano cinco, que é o que a pergunta originalmente feita, o valor seria $ 552.020,40. Nosso investidor experiente ganhou $ 52.000!
Resumo da lição
Nesta lição, você aprendeu sobre funções exponenciais. Uma função exponencial é escrita na forma y = ab x .
- y representa a saída
- a representa o valor inicial da função
- b representa a taxa de crescimento
- x representa a entrada
Em uma função exponencial, a é multiplicado por b x vezes para criar y . O gráfico de uma função exponencial parece uma curva que começa com uma inclinação muito plana, mas começa a ficar cada vez mais inclinada com o tempo.
Você pode usar essas funções para resolver problemas sobre tudo, desde o crescimento de bactérias até os juros que você ganha em sua conta bancária – experimente algumas das perguntas do questionário e veja como você se sai!
Resultados de Aprendizagem
Esta lição sobre funções exponenciais pode prepará-lo para atingir estes objetivos:
- Ilustrar uma função exponencial
- Identifique o gráfico de uma função exponencial
- Dissecar uma função exponencial usando um exemplo da vida real