Funções de energia
Savanna está estudando os caminhos de asteróides, cometas e outros corpos que voam pelo espaço. Ela percebe que conforme um certo cometa se aproxima da Terra, o caminho do cometa se curva e se afasta. Savanna deseja criar funções matemáticas dos caminhos do cometa e asteróides conforme eles se aproximam da Terra. Dessa forma, ela pode prever os caminhos de certos cometas e asteróides. Savanna pode usar seu conhecimento das funções de potência para criar equações baseadas nos caminhos dos cometas.
Uma função de potência é, sob a forma de f (x) = kx ^ n , onde k = todos os números reais e n = todos os números reais. Você pode alterar a aparência do gráfico de uma função de potência alterando os valores de k e n .
Se n é maior do que zero, então a função é proporcional ao n th poder de x . Isso basicamente significa que os dois gráficos teriam a mesma aparência. Aqui está um gráfico mostrando x ^ 4:
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Portanto, neste gráfico, n é maior que zero. Aqui está o gráfico de f (x) = x ^ 4. Não há diferença entre os dois gráficos.
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Se n for menor do que zero, então a função é inversamente proporcional ao n th poder de x . Isso significa que você verá o gráfico meio invertido. Vejamos nosso gráfico de x ^ 4 novamente.
Agora vamos olhar o gráfico de x ^ -4. Observe que este gráfico possui um espaço vazio próximo à origem. Quase cria uma seção recortada.
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Em uma função de potência, k representa a constante de proporcionalidade. Isso significa que a forma da linha no gráfico não mudará dependendo do valor de k , mas o posicionamento da linha no gráfico mudará. Dê uma olhada neste gráfico para ver o que quero dizer.
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A linha azul neste gráfico é a equação f (x) = x ^ 3, e a linha verde é a equação f (x) = 5 x ^ 3. Observe que quando adicionamos o 5 na frente do x , a forma do gráfico permanece a mesma, mas a linha se move para mais perto da origem.
Esses conceitos se tornarão mais importantes à medida que você estudar cálculo, mas é preciso mantê-los em mente ao explorar as funções de potência.
Gráficos de funções de potência
Este é o gráfico de f (x) = x ^ 2. Você provavelmente já viu muito esse tipo de função; a forma que ele cria é uma parábola. Neste gráfico, k = 1 e n = 2.
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Este é o gráfico de f (x) = – x ^ 2. Aqui k = -1 e n = 2. Observe que este gráfico é o oposto do primeiro gráfico que você viu. A única coisa que mudou na equação é o sinal negativo no valor k . Freqüentemente, o sinal negativo indica o oposto ou reverso.
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Esses tipos de funções, funções que contêm o valor x ^ 2, são chamados de funções quadráticas.
Aqui está um gráfico da função f (x) = x ^ 4. Observe que a parte inferior dessa função se alarga, mas nunca cruza o eixo x . Isso significa que todas as coordenadas y desta função são positivas.
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Vejamos o que acontece quando tornamos n negativo nesta função. Desta vez, as linhas do gráfico se dividem em duas seções, mas a linha ainda não cruza o eixo x . Este é o gráfico de f (x) = x ^ -4.
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Savanna está estudando cometas que vão direto para a terra, desviam para o lado e depois continuam em linha reta além da terra. Ela provavelmente está olhando para cometas que fazem o caminho f (x) = x ^ 3. Dê uma olhada neste gráfico e veja se ele corresponde à descrição de Savanna.
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Parece muito perto, hein? E sobre a função f (x) = x ^ -3? Qual seria a aparência desse gráfico?
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Uau! Observe que, como os outros gráficos que tinham expoentes negativos, as linhas do gráfico se separam em duas direções diferentes.
No entanto, ao contrário do gráfico f (x) = x ^ -4, mostrado com linhas azuis, o gráfico de f (x) = x ^ -3, mostrado com linhas verdes, tem coordenadas y negativas . Isso ocorre porque a potência desta função é ímpar, o que lhe dará um resultado negativo.
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Você notará que as funções com potência par são simétricas no eixo y e as funções com potência ímpar são simétricas em relação à origem. Você pode aprender mais sobre simetria no capítulo Simetria de gráficos deste curso.
Funções de potência fracionária
Savanna agora está estudando o caminho dos asteróides. Desta vez, ela precisa encontrar a diferença entre os asteróides que passam pela Terra e os asteróides que colidem com a Terra. Ela tem dois asteróides diferentes que está estudando. O primeiro tem a função de f (x) = x ^ 1/3, e o segundo asteróide tem a função de f (x) = x ^ 1/4.
Este é o gráfico de f (x) = x ^ 1/3. Você verá que a linha neste gráfico vai do lado positivo, curvas, e depois para o lado negativo do gráfico. Podemos supor que o asteróide que cria este caminho não colidirá com a Terra.
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Este é o gráfico de f (x) = x ^ 1/4. Você verá que a linha neste gráfico parte do lado positivo e para na origem. Podemos supor que o asteróide que cria este caminho irá colidir com a Terra.
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Agora que vimos as funções de potência fracionária positiva, vamos examinar algumas funções de potência fracionária negativa.
O primeiro gráfico, representado com linhas verdes, é a função f (x) = x ^ -3 / 5. O segundo gráfico, representado por uma linha azul, é a função f (x) = x ^ -1 / 4. Observe que a função com o denominador par está localizada apenas no lado positivo dos eixos x e y .
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Observe que essas duas funções, f (x) = x ^ -4 e f (x) = x ^ -1 / 4, são muito semelhantes.
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Observe que as únicas diferenças nesses gráficos são as posições das curvas das retas. Você verá que todos os números nas potências das duas funções são números ímpares.
Por fim, devemos considerar as funções que possuem potências com frações impróprias, como este gráfico. Observe que este gráfico não contém nenhuma coordenada x – ou y negativa . Este gráfico representa a função f (x) = x ^ 5/2.
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Agora que você viu todos esses gráficos, como pode lembrar quais funções combinam com quais? Vamos resumir.
Resumo da lição
Uma função de poder aparecer sob a forma de f (x) = kx ^ n , onde k = todos os números reais e n = todos os números reais. Os três tipos principais de funções de potência são funções pares, ímpares e fracionários. Você verá isso de forma positiva e negativa.
Aqui estão os gráficos das funções f (x) = x ^ 2 e f (x) = x ^ 4. Esses gráficos têm formato semelhante porque ambos têm poderes positivos e uniformes.
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Esses gráficos são semelhantes porque ambos contêm números ímpares positivos em suas potências. O primeiro gráfico representa a função f (x) = x ^ 3, e o segundo gráfico representa f (x) = x ^ 5/2.
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Observe que esses gráficos têm uma bela curva inclinada perto da origem. Esses gráficos são semelhantes porque todos eles têm potências fracionárias positivas.
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Aqui estão os gráficos das funções f (x) = x ^ -4, f (x) = x ^ -3, f (x) = x ^ -3 / 5 e f (x) = x ^ -1 / 4 – Essas funções são semelhantes porque têm poderes negativos.
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Além disso, não se esqueça de representar graficamente funções de potência para representar graficamente com uma linha curva.
Resultados de Aprendizagem
Assista a esta vídeo-aula enquanto busca estes objetivos:
- Definir e usar funções de energia
- Lembre-se da forma de equação para uma função de potência e anote três tipos principais
- Identifique com precisão se um gráfico é uma função alimentada par ou ímpar
- Represente graficamente uma função de potência