Noções básicas de uma função
Você ficaria surpreso em saber que um dos pilares mais importantes do cálculo é algo que você usa todos os dias? As funções são fundamentais para o cálculo, mas você as tem usado a vida inteira. Formalmente, as funções mapeiam um conjunto de números para outro conjunto de números. Então o que isso quer dizer?
Digamos que temos uma caixa preta e vamos chamá-la de nossa função. Se você colocar o número 4, poderá obter o número 8. Se colocar o número 5, poderá obter o número 16. Para cada número inserido, digamos x , obterá outro número , diga y . Agora, às vezes você pode inserir dois números diferentes – digamos 4 e 22 – e obter o mesmo número, digamos 39. Mas em nenhum momento você colocará um número e obterá dois números diferentes. Isso pode parecer complexo, mas na verdade é apenas dizer coisas que você já sabe.
Funções em nossas vidas diárias
Por exemplo, você usa funções sempre que vai ao posto de gasolina. O valor que você paga em um posto de gasolina depende da quantidade de combustível que você bombeia. Dito de outra forma, a quantidade de gás que você bombeia determina o número de dólares que você paga. Digamos que a gasolina seja $ 3,80 o galão. Se você estiver fazendo uma longa viagem, talvez precise de 10,2 galões. Se você bombear 10,2 galões e a gasolina custar US $ 3,80 o galão, o posto de gasolina vai cobrar US $ 38,76. Se você está apenas correndo pela cidade e precisa de apenas 2,3 galões, o posto de gasolina vai cobrar apenas $ 8,74. Claro, dependendo do seu carro, você pode precisar de mais ou menos gasolina, e o posto vai cobrar de você com base na quantidade de gasolina que você consumir.
A forma como determinam o valor a cobrar é muito simples. Eles usam uma função que mapeia o número de galões que você bombeia para o número de dólares que você precisa pagar. Especificamente, dizemos que o número de dólares que você paga é uma função da quantidade de gás que você compra.
Variáveis em uma função
Você sabe a quantidade de galões que vai comprar; você conhece uma variável x . Esta é a sua variável independente. O que você quer saber é a quantidade de dólares que vai pagar, a variável y . Isso é dependente, porque depende da quantidade de galões que você compra. Uma forma de colocar isso matematicamente é que os dólares que você paga são uma função dos galões que você compra, exatamente como dissemos antes. Mas vamos escrever isso em termos matemáticos: os dólares que você paga ( y ) são (isso é, matemática, fala por ‘igual’) uma função ( f para função) dos galões que você compra ( x ). Então y = f (x). Geralmente, uma função é escrita com variáveis de entrada entre parênteses.
No caso do nosso posto de gasolina, sabemos realmente qual é a função. Vamos ao posto de gasolina e bombeamos um pouco de gasolina. Como você provavelmente já foi ao posto de gasolina antes, sabe que a quantidade de dólares que vai pagar é igual à quantidade de gasolina que bombeou vezes o preço por galão. Portanto, se o gás é $ 4 por galão, então escrevemos y é igual a 4 vezes a nossa entrada, que é o número de galões que bombeamos: y = 4 x . Se bombearmos 4 galões de gás, conectamos isso em nossa função, 4 * 4, e isso dá 16. Deveríamos $ 16. Portanto, um ponto importante aqui é que, quando dizemos y = f (x) , isso é bom para qualquer valor de x . Estamos usando xcomo uma variável aqui. Se dissermos y = f (5), estamos avaliando essa função usando x = 5.
Imagine ir ao posto de gasolina e, em vez de bombear 4 galões de gasolina e ficar devendo $ 16, você tenta devolver o combustível ao posto. Agora não sei sobre você, mas quando tento fazer isso, o frentista geralmente só ri de mim, porque ele e eu sabemos que a quantidade de gás que posso bombear (a entrada para nossa função ) deve ser maior que zero. A quantidade mínima de gasolina que posso bombear é zero, e se vou ao posto e bombeio zero galões de gasolina, o posto fica irritado. Mas não existe um valor máximo, praticamente falando. A saída de nossa função ficará entre zero e infinito.
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Domínio e alcance
Todas as entradas possíveis para nossa função são conhecidas como domínio . O domínio são aqueles valores que você pode colocar como entrada (como a variável x ) na função.
A saída – todos os valores possíveis que você pode obter de sua função – são conhecidos como intervalo . Nesse caso, o intervalo é a quantidade de dólares que você espera gastar no posto de gasolina.
Então, se eu voltar à caixa preta, vamos escrever nossa função um pouco mais formalmente agora como y = f (x) . As entradas de nossa caixa preta são agora os valores x que constituem o domínio, e a saída – algo dentro do intervalo – são os nossos valores y . Os matemáticos às vezes escrevem assim, onde agora você tem basicamente duas folhas de papel, em certo sentido, uma frente à outra. De um lado você tem um domínio – você tem uma função – e a segunda folha de papel é o intervalo.
E quanto à função seno de x ? A função sin ( x ), vou escrever como y é alguma função de x e essa função é realmente sin ( x ), então y = sin ( x ). E sobre o domínio e o alcance desta função? O domínio são todos os valores possíveis de x que você pode colocar nele. Se você usar a calculadora, saberá que pode colocar qualquer coisa em sin ( x ), de modo que o domínio tem todos os valores de menos infinito a infinito. E quanto ao alcance? Bem, o intervalo é todos os valores possíveis de y . Se representarmos o sin ( x), você pode ver facilmente que o valor máximo será 1 e o valor mínimo será -1.
Então, escrevendo y = sin ( x ), sabemos que y tem que estar entre -1 e 1. Isso significa que o intervalo de sin ( x ) vai estar entre -1 e 1. Portanto, o intervalo corresponde ao valor y , este eixo vertical, e o domínio corresponde aos valores de x , este eixo horizontal. Uma última coisa: e quanto ao domínio e alcance desta função?
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Primeiro, vamos dar uma olhada no que essa função significa. Isso significa que, para valores de x menores que zero, nossa função, f (x) , é igual a sin ( x ). Se eu representar graficamente isso, qualquer coisa que seja menor que zero será sin ( x ); vai continuar. Para valores de x maiores que zero, f (x) será igual ax , então terá a seguinte aparência. Um ponto importante a notar aqui é que não há valor atribuído em x = 0, então vou colocar um círculo lá porque ele é indefinido.
Resumo da lição
Para recapitular, as funções mapeiam algum conjunto de números para outro conjunto de números, mas isso não é mais complexo do que ir ao posto de gasolina. Sua entrada para sua função, sua variável x , é a variável independente e x precisa estar dentro do domínio da função. A variável y é sua variável dependente. É o resultado da sua função e deve estar dentro do intervalo da função.
Desenhando a Linha
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Para muitas pessoas, a matemática é uma língua estrangeira complexa. Porém, muitos de seus conceitos são usados em nosso dia a dia sem que nunca percebamos que o estamos aplicando. Quando mapeamos dois conjuntos de números, como fazemos quando compramos algo por libra ou galão, estamos criando uma função. Esses números podem ser exibidos no gráfico e conectados a uma linha para fornecer um exemplo visual de como os conjuntos de números se emparelham.
Resultado de aprendizagem
Depois de revisar esta lição, você será capaz de:
- definir e descrever uma função e outros termos relacionados.
- demonstrar como fazer uma função e aplicá-la a um gráfico.