Números complexos
Imagine controlar duas coisas ao mesmo tempo, como almoçar e saber que horas são. Esta é uma situação complexa um tanto relacionada a números complexos. Outro exemplo é que um sinal pode ter uma magnitude e uma fase. Números complexos são ótimos para descrever sinais. Nesta lição, definimos números complexos e, em seguida, usamos propriedades matemáticas para adicionar, subtrair e multiplicar números complexos.
Definindo Números Complexos
Na verdade, um número complexo realmente controla duas coisas ao mesmo tempo. Uma dessas coisas é a parte real, enquanto a outra é a parte imaginária . Por exemplo, z = 3 + 2 i é um número complexo. A parte real de z é 3 e a parte imaginária de z é 2. O significado cotidiano de » imaginário » é algo que não existe. O significado em matemática é bem diferente. Identificar a parte imaginária de um número complexo é fácil porque tem um rótulo. A parte imaginária é o número que multiplica o rótulo i ‘. Isso mesmo, a parte imaginária de 3 + 2 i é 2. Tenha cuidado porque a parte imaginária não é 2 i. O imaginário não inclui o rótulo.
Outro exemplo? Vamos pegar o número complexo z = -15 – 32 i . Qual parte é real e qual imaginária? A parte real é -15 enquanto a parte imaginária é -32.
O grande matemático suíço Euler inventou i em 1777. O valor de i é a raiz quadrada de um negativo. Na maior parte, usaremos i como o rótulo que identifica a parte imaginária de um número complexo. Ainda assim, podemos precisar avaliar i 2 de tempos em tempos. Se i for a raiz quadrada de um negativo, então i 2 é a raiz quadrada de um negativo vezes a raiz quadrada de um negativo. Assim, i 2 é -1.
Propriedades do número
Lembre-se da propriedade comutativa ? A propriedade comutativa tem a ver com ordenação. Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem não altera o resultado. Por exemplo, 3 + 6 i é o mesmo que 6 i + 3. E a propriedade associativa ? A propriedade associativa é sobre agrupamento. Ao adicionar ou multiplicar, podemos agrupar os termos de qualquer forma, sem alterar o resultado. Por exemplo, (2 + 3 i ) + (3 – 4 i ) é o mesmo que (2 + 3) + (3 i – 4 i ) o que nos dá 5 – i . Por último, você se lembra da propriedade distributiva? A propriedade distributiva trata de distribuir uma multiplicação sobre uma adição. Ao multiplicar um número por parênteses contendo a soma de dois ou mais números, a multiplicação se aplica a todos os números entre parênteses. Por exemplo, 2 (3 – 5 i ) é igual a 2 (3) + 2 (-5 i ), o que nos dá 6 – 10 i .
Nos exemplos a seguir, usaremos esses quatro números complexos:
- z 1 = 2 + 3 i
- z 2 = -3 + 2 i
- z 3 = 4 – 2 i
- z 4 = -2 – 4 i
Adicionando Números Complexos
Exemplo: adicione z 1 a si mesmo
Comece substituindo:
 |
A propriedade associativa permite qualquer agrupamento, portanto podemos eliminar os parênteses:
 |
A propriedade comutativa permite qualquer ordem de adição. O objetivo é adicionar as partes reais e imaginárias separadamente:
 |
Adicionar as partes reais nos dá 2 + 2 = 4. Adicionar as partes imaginárias dá 3 + 3 = 6. A resposta é 4 + 6 i .
Exemplo: Calcule z 2 + z 3 + z 4 .
Primeiro, substitua:
 |
Então, podemos remover os parênteses (propriedade associativa):
 |
Você viu onde + (- 2 – 4 i ) se tornou -2 – 4 i ? Podemos pensar em + (- 2 – 4 i ) como +1 vezes (-2 – 4 i ). O +1 vezes o (-2 – 4 i ) resulta em -2 – 4 i .
Agora, podemos reordenar a adição (propriedade comutativa):
 |
Adicionar as partes reais resulta em -3 + 4 – 2 = -1. Adicionando as partes imaginárias, 2 – 2 – 4 = -4. A resposta é -1 – 4 i .
Subtraindo Números Complexos
Subtrair números complexos é muito parecido com adicionar números complexos. Aqui está um exemplo:
Exemplo: Calcule z 1 – z 3
Substituindo:
 |
Remova os parênteses (propriedade associativa):
 |
Você viu onde – (4 – 2 i ) se tornou -4 + 2 i ? A propriedade distributiva está em ação aqui. O – (4 – 2 i ) é igual a -1 vezes (4 – 2 i ). O -1 vezes o (4 – 2 i ) dá (-1) (4) + (-1) (- 2 i ) = -4 + 2 i .
Reordenando a adição (propriedade comutativa):
 |
Adicionar as partes reais resulta em 2 – 4 = -2. Somando as partes imaginárias, 3 + 2 = 5. A resposta é -2 + 5 i .
Multiplicando Números Complexos
Vamos multiplicar dois números complexos.
Exemplo: Calcule z 2 x z 4
Substituindo:
 |
Cada termo no primeiro parêntese multiplica o segundo parêntese (propriedade distributiva). Assim, o -3 e o + 2i multiplicam o segundo parêntese:
 |
Use a propriedade distributiva para expandir:
 |
Vê como 2 i vezes -4 i se torna -8 i 2 no segundo parêntese? Substitua o i 2 por -1. Então, -8 vezes -1 = +8:
 |
Em seguida, reordenamos a adição (propriedade comutativa):
 |
Somando as partes reais resulta 6 + 8 = 14. Somando as partes imaginárias, 12 – 4 = 8. A resposta é 14 + 8 i .
Resumo da lição
Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária . A parte imaginária é o número que multiplica i, onde o valor de i é a raiz quadrada de um negativo.
Três propriedades matemáticas são usadas para avaliar a soma, diferença e produto de números complexos. Essas propriedades são a propriedade comutativa , que afirma que os números podem ser somados ou multiplicados em qualquer ordem, a propriedade associativa , que afirma que os números podem ser agrupados como quisermos ao adicionar ou multiplicar, e a propriedade distributiva onde a multiplicação é distribuída sobre uma adição .