Expoentes e Logs
O que acontece quando você leva um número a uma certa potência? Você multiplica o número por ele mesmo um certo número de vezes, conforme ditado pelo expoente. Por exemplo, 5 3 = 5 x 5 x 5
Em geral, a regra é que x elevado à potência y é igual a x multiplicado por ele mesmo y vezes. Veja como o expoente mostra quantas vezes multiplicar o número por ele mesmo:
| Em notação de expoente | Em forma expandida | Valor |
|---|---|---|
| 5 2 | 5 x 5 | 25 |
| 5 3 | 5 x 5 x 5 | 125 |
| 5 4 | 5 x 5 x 5 x 5 | 625 |
Se quiséssemos escrever uma regra para esse relacionamento em termos gerais, poderíamos escrevê-la como x y = z , onde z é o resultado de x multiplicado por ele mesmo y vezes. Nessa equação, x é chamado de base , o número elevado a uma determinada potência. y é chamado de expoente , o número que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada.
Você provavelmente está familiarizado com problemas de matemática que lhe dão x e y , e pedir-lhe para resolver para z .
Por exemplo, qual é o valor de 3 4 ? ou qual é maior, 5 3 ou 3 5 ? Mas e se você olhasse para a equação de uma maneira diferente? E se você soubesse a base e o resultado, mas tivesse que resolver para o expoente?
Em outras palavras, quantas vezes você tem que multiplicar x por ele mesmo para obter z ?
| Determinar o resultado quando você eleva uma determinada base a um certo poder | Determinar a potência necessária para elevar uma determinada base a um determinado resultado |
|---|---|
| Qual é o valor de 5 3 ? (Resposta: 125) | A que potência 5 deve ser elevado para obter 125? (Resposta: 3) |
Em ambos os casos, a equação em ação é 5 3 = 125. As duas perguntas simplesmente pedem que você encontre diferentes partes da equação.
Isso é o que os logaritmos fazem. Um logaritmo é a potência à qual você eleva uma certa base, a fim de obter um determinado número. É apenas outra maneira de ver as expressões exponenciais, com as quais você já sabe trabalhar. Assim como a adição reverte a subtração e a multiplicação reverte a divisão, os logaritmos revertem as expressões exponenciais.
Notação de logaritmo
Para facilitar a resolução dos expoentes, os logaritmos usam um tipo especial de notação. A expressão x y = z na forma de expoente se transformaria em log x ( z ) = y na notação logarítmica.
Na notação de logaritmo, o que estamos resolvendo é isolado, então é mais fácil de resolver, assim como na forma de expoente regular. Isso pode parecer confuso no início, mas é apenas outra maneira de escrever exatamente o mesmo conceito. Essas duas expressões são exatamente iguais; são apenas duas maneiras diferentes de escrever a mesma coisa.
A forma de logaritmo pode inicialmente parecer que você está elevando x à potência de z . Não é isso que significa – não se confunda com o fato de que z é mais alto na reta do que x ! x é a base, mas você o está elevando à potência de y para obter z .
Um logaritmo é basicamente o reverso de um expoente. Em uma equação exponencial, você tem o poder e está resolvendo o resultado de levar a base para esse poder. Em uma equação logarítmica , você já tem o resultado e está resolvendo para encontrar a potência.
Exemplo de problema
Então, para que você poderia querer usar isso? Bem, por exemplo, digamos que você seja um cientista estudando terremotos. A força de um terremoto é medida em algo chamado escala Richter, onde 1 é quase imperceptível e 9 é extremamente destrutivo.
Veja como os cientistas calculam a classificação Richter de um determinado terremoto:
 |
Não se preocupe muito com isso – esta parte é apenas uma equação que pega a quantidade de força medida e a ajusta de acordo com a distância da estação do terremoto. A parte interessante aqui é o logaritmo. Para obter o número de 1 a 9, os cientistas calculam a que potência eles teriam que aumentar 10, para obter a medição ajustada da força.
Digamos que a medida ajustada da força do terremoto foi 10.000. Qual seria o tamanho da classificação de Richter?
R = log 10 (10.000)
Em outras palavras, para qual potência temos que aumentar 10, a fim de obter 10.000? Você examinará mais técnicas para resolver logaritmos em outra lição, mas se você souber alguma coisa sobre as potências de 10, você já pode quebrar este aqui, porque 10 x = 1 seguido por x zeros. Portanto, 10 2 = 100, 10 3 = 1.000 e assim por diante. Neste caso, temos quatro zeros, então podemos dizer que precisamos de 10 elevado à quarta potência para obter 10.000. Log 10 (10.000) = 4.
Isso torna este terremoto um 4 na escala Richter, o que é o suficiente para sacudir um pouco o chão e derrubar alguns livros das prateleiras, mas não vai derrubar nenhum arranha-céu tão cedo.
Resumo da lição
Nesta lição, você aprendeu sobre logaritmos. Um logaritmo é a potência à qual você eleva uma certa base, a fim de obter um determinado número.
Os logaritmos são como uma forma de desfazer expoentes. Enquanto os expoentes tratam de tomar uma base para uma determinada potência e descobrir o resultado, os logaritmos tratam de descobrir de que potência você precisa, já considerando a base e o resultado.
A notação de logaritmo pode ser confusa no início, mas conforme você a usa, você se acostuma.
Pense nisso como outra maneira de escrever expoentes. A expressão x y = z na forma de expoente se transformaria em log x( z ) = y em notação logarítmica.
Resultados de Aprendizagem
No final desta lição, você deve se sentir confiante o suficiente para:
- Definir logaritmo
- Determine qual é a base e qual é o expoente em uma equação
- Resolva exemplos envolvendo notação logarítmica