O que é notação?
A notação é um sistema de sinais ou símbolos que representam palavras, números, frases, etc. A notação costuma ser projetada para um propósito específico e é muito útil para comunicar palavras, números e outras coisas de maneira eficiente.
Um bom exemplo de notação é a notação musical. Este tipo de sistema de notação contém muitos símbolos e vários tipos de gráficos, e permite ao compositor informar aos outros como deseja que sua música soe e seja tocada. A notação musical pode ser intimidante quando alguém é exposto a ela pela primeira vez; entretanto, uma vez aprendido, permite a um músico ou aspirante a músico escrever música e aprender a música de outros.
A notação de função é um sistema de símbolos usado em matemática, mas é indiscutivelmente muito mais fácil de aprender do que a notação musical. A notação de função é uma maneira eficiente e eficaz de exibir funções de todos os tipos em matemática. Vamos começar com uma função linear. Muitos alunos estão familiarizados com a visão de funções lineares escritas como y = 3 x + 7.
Esta é uma função linear na forma de declive-interceptação. Ele é escrito com a variável y padrão em termos da variável x , que é a variável de entrada ou variável independente . Geralmente é assim que os alunos aprendem pela primeira vez como escrever funções em matemática. É uma boa maneira de expor os alunos às funções; entretanto, y = 3 x + 7 não é escrito em notação de função. Vamos chamar essa função de f . Podemos então reescrevê-lo com a notação de função: f ( x ) = 3 x + 7.
Tudo o que fizemos foi substituir y por f ( x ), então y = f ( x ). Podemos ler este símbolo como o valor de f em x ou como f de x . Essa forma de escrever uma função nos dá mais flexibilidade e uma melhor maneira de comunicar como uma função deve ser avaliada.
Vamos avaliar esta função quando x = 5. Com a notação de função, as instruções são muito simples: encontre f (5). Isso nos diz para avaliar a função f quando x = 5. Em outras palavras, substitua x por 5 e resolva: f (5) = 3 (5) + 7 = 15 + 7 = 22.
Vamos tentar outro exemplo. Encontre f (7) para f ( x ) = x ^ 2 – 10 x : f (7) = 7 ^ 2 – 10 (7) = 49 – 70 = -21.
Escrita com notação de função
Embora seja comum usar a letra f ao escrever notação de função, qualquer letra pode ser usada em maiúsculas ou minúsculas. Também podemos alterar a letra da variável de entrada, mas tende a ficar em minúsculas. Essa flexibilidade fornece capacidade de manobra valiosa nas funções de escrita.
Digamos que desejamos escrever uma função para a área de um quadrado. Poderíamos chamar a função A para área e usar a letra s para o comprimento do lado do quadrado. Isso nos daria a notação de função de A ( s ) = s ^ 2. Essa notação nos diz que a área de um quadrado com o comprimento do lado s é s ^ 2.
Usando esta definição da função A , vamos avaliar o seguinte: A (6). A (6) = 6 ^ 2 = 36 unidades quadradas.
Podemos usar notação de função para funções que possuem múltiplas variáveis de entrada. A fórmula para o volume de um prisma retangular é V = lwh . O volume de um prisma retangular é uma função do comprimento ( l ), largura ( w ) e altura ( h ) do prisma .
Podemos escrever esta fórmula usando a notação de função: V ( l , w , h ) = lwh . Vamos avaliar V (3, 7, 2). A notação da função nos diz que o prisma retangular tem um comprimento de 3 unidades, uma largura de 7 unidades e uma altura de 2 unidades: V (3, 7, 2) = (3) (7) (2) = 42 cubo unidades.
Contanto que você saiba como uma função e suas variáveis de entrada são definidas, a notação de função permite a comunicação eficiente de um problema.
Avaliação de funções
Às vezes, somos solicitados a avaliar uma função substituindo as variáveis de entrada por expressões que contêm as próprias variáveis. Por exemplo, vamos começar com a função g ( x ) = x ^ 2 + 5 x – 8. Vamos primeiro avaliar g (3): g (3) = 3 ^ 2 + 5 (3) – 8 = 9 + 15 – 8 = 16.
Em seguida, precisamos avaliar g ($). Este parece ser um pedido incomum, mas está sendo usado aqui para mostrar um ponto. A notação da função está apenas nos instruindo a substituir cada x na função por um cifrão: g ($) = $ ^ 2 + 5 $ – 8.
Agora, vamos avaliar g ( x – 2). Os alunos frequentemente lutam com esse tipo de problema porque ainda há uma variável para o valor de entrada; entretanto, só precisamos avaliar a função original substituindo cada x por ( x – 2): g ( x – 2) = ( x – 2) ^ 2 + 5 ( x – 2) – 8.
Foil ( x – 2) ^ 2 e distribua 5: x ^ 2 – 4 x + 4 + 5 x – 10 – 8. Combine os termos semelhantes: x ^ 2 + x – 14. Ainda temos uma variável em nossa resposta, mas está tudo bem.
Composição de Função
A composição de funções é a combinação de duas funções. Seja f ( x ) = x + 10 e g ( x ) = x ^ 2 – 1. A composição f de g é definida pela regra f ( g ( x )). Isso significa que precisamos substituir cada x na função f pela função g da seguinte maneira: f ( g ( x )) = ( x ^ 2 – 1) + 10. Podemos simplificar para obter x^ 2 + 9. Esta é outra maneira de mostrar a composição de duas funções.
Vamos agora encontrar a composição de g de f : g ( f ( x )) = ( x + 10) ^ 2 – 1. Podemos simplificar para obter x ^ 2 + 20 x + 99 (observe que a propriedade comutativa não se aplica para função de composição).
Usando as mesmas duas funções, vamos agora encontrar f ( g (2)). Essa notação nos diz para primeiro avaliar g (2): g (2) = 2 ^ 2 -1 = 4 – 1 = 3.
Mostramos que g (2) = 3. Portanto, substituímos g (2) por 3 no problema original e avaliamos a função f : f ( g (2)) = f (3) = 3 + 10 = 13.
A entrada na função g foi 2, e isso nos deu uma saída 3. Essa saída se tornou a entrada na função f . Finalmente, a função f nos deu a saída de 13.
Resumo da lição
A notação de função é um método refinado e digno de nomear e avaliar funções no contexto da matemática. Ao mesmo tempo, a notação de função é um conceito simples e fácil de usar. Reconhecer e usar a notação de função é uma etapa crítica para avançar para a matemática avançada, como pré-cálculo e cálculo. Espere ver a notação de função nas aulas do ensino médio e da faculdade e até mesmo no local de trabalho.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você será capaz de:
- Defina a notação da função e identifique sua finalidade
- Lembre-se de como escrever fórmulas com notação de função
- Explique como avaliar funções
- Descreva o processo de composição da função