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Anteriormente, falamos sobre como uma função é como uma máquina de refrigerante. Ao colocar diferentes combinações de dinheiro (as entradas), você pode obter diferentes tipos de refrigerante (as saídas). As funções matemáticas são basicamente as mesmas. Você pode inserir números diferentes e obter novos números de volta. Mas há um aspecto das funções que ainda não foi falado: domínio e alcance.
Vamos pensar sobre isso em termos da máquina de refrigerante. Existem diferentes maneiras de pagar pelo refrigerante. Você pode usar moedas, moedas de um centavo, notas de um dólar e algumas máquinas até permitem que você use seu cartão de crédito ou débito agora. Mas o que acontece se você tentar usar um centavo? Para ser honesto, não tenho certeza. Eu acho que ele cospe de volta em você ou apenas o rouba e não conta para o seu refrigerante. De qualquer forma, os centavos não funcionam na máquina. Isso significa que o domínio desta máquina de refrigerante é de apenas {moedas, quartos, notas de um dólar, cartões de crédito e cartões de débito}. Estas são as entradas possíveis – as únicas coisas que funcionarão na máquina.
Mas, além de haver um número limitado de coisas que você pode colocar na máquina, há também um número limitado de coisas que você pode recuperar. Não importa quanto você pague, não há como você conseguir um cheeseburguer de volta daquela máquina! Digamos que os únicos refrigerantes possíveis que você pode obter desta máquina sejam regular, diet e lima-limão. Isso torna essas três coisas, o intervalo . O intervalo de qualquer função é a coleção de resultados possíveis. Agora que temos uma ideia de quais são o domínio e o intervalo, vamos prosseguir e dar uma olhada em algumas funções matemáticas reais.
Domínio e intervalo somente de valores
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Começaremos com uma função fácil e simples como esta: f ( x ) = (5, -2) (3,9) (-1, 9) (4,1). Esta função não tem uma regra; é simplesmente uma coleção de valores de entrada e saída. Por exemplo, ele nos diz que quando você insere 5, obtém -2, ou quando conecta 4, obtém 1.
Então, qual é o domínio desta função? Outra maneira de fazer essa pergunta é: quais são os valores de entrada possíveis? Bem, existem apenas alguns: 5, 3, 4 e -1. É isso aí! E quanto ao alcance? Isso é o mesmo que perguntar quais são as possíveis saídas. Nesse caso, isso é apenas -2, 9 e 1. Embora duas entradas diferentes forneçam 9, você não precisa listá-lo duas vezes ao escrever o intervalo.
Graph Squishing para Encontrar Domínio e Alcance
Podemos aumentar um pouco a dificuldade pedindo para determinar o domínio e o alcance de um gráfico, talvez este. Agora, quando estamos pensando sobre o domínio (ou as entradas), precisamos procurar os valores x neste gráfico. Existe algum lugar no eixo x que este gráfico não vai? Normalmente respondo a essa pergunta imaginando o gráfico inteiro sendo comprimido no eixo x, talvez assim. Agora a questão é: quais partes do eixo comprimiram partes do gráfico sobre ele? Bem, supondo que esse gráfico continuasse para sempre à esquerda e para sempre à direita, parece que o gráfico inteiro está esmagado nele. Isso significa que o domínio da função é tudo, ou todos os números reais .
Para encontrar o intervalo, faremos algo muito semelhante. Exceto, desta vez, estamos preocupados com os valores de saída – o eixo y. Isso significa que apertamos o gráfico dessa maneira e, novamente, olhamos para ver onde o gráfico acabou. Agora, porém, todo o eixo não está coberto. É coberto apenas nesta área, no meio, entre -1 e +1. Isso significa que o intervalo não contém todos os números reais, e sim apenas os valores de y contidos entre -1 e +1.
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Encontrando Domínio e Intervalo apenas pelas Regras
O exercício final que veremos, e provavelmente o mais difícil que faremos, requer que você determine o domínio e o intervalo de olhar apenas para a regra da função. Isso vai ser difícil porque não existe um método que eu possa ensinar a você que permitirá que você resolva todos os problemas. Em vez disso, eles exigem que você tenha um bom entendimento conceitual de álgebra e funções. Mas existem algumas regras gerais que posso estabelecer para você.
Regras Gerais: Domínio
Primeiro, em termos de domínio, existem algumas regras principais que você não tem permissão para violar. Dividir por zero é uma das proibições . Portanto, sempre que você vir uma função que tem um x no denominador, haverá pelo menos um valor que não pode ser incluído no domínio. Por exemplo, na função mostrada aqui: g ( x ) = 3 / ( x + 2), x = -2 forneceria um zero no denominador. Isso torna o domínio desta função qualquer x exceto -2.
Outra proibição é tirar raízes quadradas de números negativos, porque esses números não existem de fato! Portanto, novamente, se você vir a raiz quadrada de um x , sabe que haverá alguns valores excluídos do domínio. Como você pode ver aqui, esta função h ( x ) = 3 vezes a raiz quadrada de ( x – 5) terá um domínio de apenas x s maior que 5, porque qualquer x menor que 5 dará a você um número negativo dentro do raiz quadrada.
A restrição final no domínio que examinaremos tem a ver com logaritmos. Embora eu possa iniciar uma explicação um tanto longa e confusa de por que esse é o caso, é provavelmente melhor para você apenas aceitar minha palavra quando digo que não podemos avaliar logaritmos de zero ou qualquer número negativo. Isso significa que o domínio desta função r ( x ) = log (-2 x ) não inclui nenhum valor x positivo . Somente quando inserimos um número negativo nesta função, acabamos obtendo o log de um número positivo.
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Regras Gerais: Alcance
Agora, pensando sobre o intervalo, existem novamente alguns tipos de funções a serem observadas. Talvez o mais fácil de ver sejam as funções que têm x elevado a uma potência de número par como: x 2 , x 4 ou x 6 . Os gráficos de todas essas funções se parecem com isso, o que pode ajudá-lo a ver que essas funções permanecem positivas, porque mesmo multiplicar um número negativo por si mesmo um número par de vezes o tornará positivo novamente. Por exemplo, (-3) 2 = +9, mas (-3) 3 volta a ser negativo e você obtém -27. Mas então se subirmos para (-3) 4, nós, novamente, obtemos +81. Portanto, essas funções expoentes de numeração par terão intervalos apenas de números positivos.
Mas tenha cuidado. A função f ( x ) = – x 6 realmente terá um intervalo de todos os números negativos porque o sinal negativo na frente de x 6 inverterá todo o gráfico abaixo do eixo x, tornando, em vez de todos os valores positivos, todos os valores negativos do nosso intervalo.
São pequenos truques como esse que tornam muito difícil listar todas as diferentes maneiras pelas quais o intervalo pode mudar em apenas uma lição. Mas outras funções que você precisa observar são raízes quadradas, valores absolutos e exponenciais. Todas essas funções normalmente terão intervalos compostos apenas de valores positivos, mas, novamente, os truques podem mudar isso ligeiramente.
Resumo da lição
O domínio de uma função é a coleção de todas as entradas possíveis, enquanto o intervalo é a coleção de todas as saídas possíveis. Encontrar o domínio e o intervalo de um gráfico pode ser realizado imaginando o gráfico sendo comprimido até o eixo x ou y, respectivamente. Quaisquer que sejam as partes do eixo sobre as quais o gráfico foi pressionado são as entradas para o domínio ou intervalo.
Encontrar o domínio e o intervalo apenas da regra pode ser complicado, mas há uma série de regras gerais a serem seguidas. Essencialmente, você deve ter cuidado com qualquer uma das funções que vê aqui, mas se você não vir nenhuma dessas coisas, há uma boa chance de que sua resposta seja simplesmente, todos os números reais.