Riemann Sum Review
Você tem uma ótima ideia. Você vai colocar uma rampa de skate no seu quintal! Mas para fazer isso, você precisa de muita terra para passar por baixo da rampa. Quanta sujeira você realmente precisa?
Digamos que você queira que a rampa siga a curva y = x ^ 2 + 1. Você quer que ela vá de x = 0 a 2. Digamos que seja de 0 a 2 metros. Para descobrir quanta terra você vai querer colocar embaixo dessa rampa, você se recosta e pensa em tudo que aprendeu em cálculo. Você diz, bem, eu poderia usar uma soma de Riemann para estimar a área entre minha rampa e o solo. Como você não quer passar o dia todo medindo a altura dessa rampa, você quer usar uma soma de Riemann com apenas uma fatia ao longo dessa curva. O que uma soma de Riemann faria seria se você medir a altura em algum lugar ao longo desta curva e multiplicar essa altura por 2 metros. Essa é a distância em x. A altura vezes a largura aqui forneceria a área da seção transversal e informaria sobre a quantidade de sujeira necessária.
Mas vamos pensar sobre isso. Se você medir no lado esquerdo, então se você tiver uma soma de Riemann do lado esquerdo, você obterá uma área de 2 porque a altura do lado esquerdo é 1 multiplicado pela largura, que é 2, o que lhe dá um área de 2. Se você usar uma soma de Riemann de ponto médio, sua área seria estimada em 4. Se você usar uma soma de Riemann do lado direito, a área da seção transversal seria estimada em 10. Isso parece absolutamente fantástico, mas nenhum dos essas projeções parecem certas.
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Quer dizer, é mesmo? Esta rampa parece algo plano? Como isso? Você tem alguma razão para acreditar que a área estimada pela soma de Riemann do lado esquerdo ou direito estaria em qualquer lugar perto da área real da seção transversal? Bem, que tal este ponto médio? Isso parece certo? Você simplesmente não sabe. Então, em vez de pegar várias fatias e fazer uma soma de Riemann com duas áreas diferentes, você decide não usar retângulos e estima essa área com um trapézio.
Usando trapézio para estimar área
Vamos revisar. A área de um trapézio é igual à altura do trapézio vezes a média dos dois lados paralelos . Então, se você tiver um trapézio parecido com este, vamos multiplicar a altura por w sub 1, mais w sub 2, tudo dividido por 2 (Área = (Altura) * ( w sub 1 + w sub 2) / 2). w sub 1 é este comprimento aqui, no lado curto, e w sub 2 é o lado longo. Se virarmos este trapézio de lado, a área ainda é a mesma, mas agora temos a altura indo horizontalmente ew sub 1 no lado esquerdo do trapézio e wsub 2 no lado direito do trapézio. Bem, isso se parece muito com a nossa função.
Aqui está nossa função, e posso ver um contorno trapezoidal indo entre o lado esquerdo, 0, e o lado direito, 2.
Nesse caso, w sub 1 é a altura do lado esquerdo, w sub 2 é a altura do lado direito e minha altura é, na verdade, a distância entre 0 e 2 no eixo x . Se eu inserir esses pontos em minha fórmula de área, obtenho que a área é igual ao valor da função no lado esquerdo mais o valor da função no lado direito, tudo dividido por 2 vezes meu delta x . Essa é a diferença entre o valor do lado esquerdo de x e o valor do lado direito de x . Portanto, neste caso, é 2 – 0.
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Vamos inserir os pontos para y = x ^ 2 + 1 de 0 a 2. f (x) no lado esquerdo é igual af (0). f (x) no lado direito é f (2) – tudo isso dividido por 2 vezes meu delta x , que é 2 – 0. Se eu inserir 0 em minha função y = x ^ 2 + 1, obtenho 1. Se eu conectar 2 a essa função, obtenho 5. Portanto, minha área se torna ((1 + 5) / 2) * 2, e isso é apenas 6.
Eu poderia obter uma estimativa ainda melhor dividindo isso em duas fatias, e pegar a área do trapézio de duas fatias diferentes e somá-las para obter a soma total. Se eu fizer isso, minha primeira área vai de f (0) a f (1), então meu delta x é 1 – 0, e minha segunda área vai de f (1) a f (2), então meu delta x é 2 – 1. Se eu inserir os valores de f (0), f (1) ef (2), descubro que a área sob a curva é estimada em 5.
A regra do trapézio
Você pode escrever isso usando a notação de soma . Se todas as fatias tiverem o mesmo tamanho, porém, há uma fórmula da qual você pode se lembrar. E isso é que a área sob a curva é delta x / 2, então essa é a largura de cada fatia dividida por 2, vezes f ( x sub 0), então esse é o valor da sua função no lado esquerdo, mais 2 f ( x sub 1) + 2 f ( x sub 2) vezes – assim por diante e assim por diante; então o que estou fazendo aqui é que tenho dois de cada ponto no meio da minha região – mais f ( x sub n ). Então, se eu tiver dividido isso em n fatias – esse é o ponto mais à direita.
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Aqui está um exemplo onde dividimos nossa região em três fatias diferentes. Eu tenho f ( x sub 0) no lado esquerdo e f ( x sub 1) está no lado direito da fatia um. f ( x sub 2) está no lado direito da região dois ef ( x sub 3) está no lado direito da região três ou fatia três. Então, minha área, neste caso, é (delta x ) / 2 vezes o valor de f ( x sub 0), que é o ponto no lado esquerdo da primeira fatia, mais 2 f ( x sub 1), que é o ponto no lado direito da primeira fatia, mais 2f ( x sub 2), que é o ponto do lado direito da segunda fatia, mais f ( x sub 3), que é o ponto do lado direito da última fatia. … Você pode estar pensando, como posso me lembrar disso?
Tudo o que estamos fazendo aqui é dar uma olhada em cada fatia e ver o que f (x) está na interseção entre cada uma dessas fatias. Para cada fatia, vamos adicionar o lado esquerdo e o lado direito dessas fatias. Então, no caso da fatia um, vou adicionar f ( x sub 0) ef ( x sub 1). Para qualquer ponto que esteja entre duas fatias, no entanto, vamos contá-lo duas vezes. É por isso que há esse 2 na frente.
Vamos tentar um exemplo. Digamos que queremos encontrar a área abaixo da curva y = f (x) , que é 16 – x ^ 2, entre x = 0 e x = 4. Vou dividir isso em quatro fatias diferentes, todas de largura igual. Aqui, eu cortei em quatro fatias, e cada fatia tem uma largura de 1. Então, minha área total vai ser ( delta x / 2) * y sub 0 – então, é esse ponto aqui, podemos chamar it f ( x sub 0) ou y sub 0 – mais 2 y sub 1 – esse é este ponto aqui, porque tem que ser contado para esta fatia aqui e a fatia aqui – mais 2 ysub 2 – é este o ponto aqui; está no meio da fatia 2 e da fatia 3, então estamos contando duas vezes – mais 2 y sub 3 – essa fatia aqui, novamente, está entre a fatia 3 e a fatia 4, então estamos contando isso duas vezes – mais y sub 4 – esse é o ponto aqui; não está entre duas fatias, é apenas próximo a uma fatia, então estamos contando apenas uma vez.
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delta x x x
Resumo da lição
Vamos revisar a regra do trapézio . A regra do trapézio também é uma maneira de encontrar a área abaixo de uma curva, mas em vez de usar retângulos para estimar a área, estamos usando trapézios. Você pode fazer isso com a notação de soma, mais ou menos como fizemos com as somas de Riemann. Portanto, se todas as fatias têm a mesma largura – então delta x é uma constante – você pode usar a regra do trapézio para encontrar a área. Essa é a área igual a delta x dividido por 2 vezes o valor no lado esquerdo da função mais o valor no lado direito da função mais 2 vezes quaisquer pontos no meio. Isso é 2 vezes cada ponto que está entre duas fatias. ( delta x / 2) ( y sub 0 + 2 y sub 1 + 2 ysub 2 + 2 y sub 3 + y sub 4).