Revisão de limites
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Vamos parar um minuto para voltar e pensar sobre os limites. Ficamos realmente bons em tomar limites parecidos com este: limite quando delta x vai para zero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x = f` (x) , ou a derivada de f (x) . Mesmo que tenhamos nos tornado muito bons em pegar esses tipos de limites, podemos ter problemas quando se trata de um limite como este: limite quando x vai para zero de sin ( x ) / x. Se nos lembrarmos de nossas regras de limite, uma coisa que podemos fazer é dividir para conquistar. Podemos encontrar o limite no topo da equação e podemos encontrar o limite na parte inferior da equação. Bem, o limite de sin ( x ) quando x vai para zero é zero. Por enquanto, tudo bem. E o limite de x quando x se aproxima de zero é zero.
Nosso limite é 0 / 0. Hmmm … isso não é tão bom. O que fazemos quando temos limites como esse? O que fazemos quando nosso limite é igual a 0/0 ou infinito / infinito? Como podemos entender isso? Existe um número real desse limite; vai para o infinito ou para zero? Como nós sabemos? Bem, eu posso representar graficamente este sin ( x ) / x , e parece que o limite é 1. Mas como eu encontraria isso sem representar graficamente? Como eu descobriria isso para equações mais complicadas que são mais difíceis de representar graficamente? Como faria isso sem minha calculadora?
Regra do L’Hopital – Parte Um
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Bem, dois homens são creditados com a resolução desse problema no século 17: o matemático francês Guilliame François Antoine de L’Hopital e o matemático suíço Johann Bernoulli. A história é quase escandalosa, já que se acredita que Bernoulli apareceu com a solução e L’Hopital a publicou, então a solução é conhecida como regra de L’Hopital .
Então, qual é a essência da regra de L’Hôpital? Bem, se você tem duas funções que se aproximam de zero, não podemos olhar para o valor das funções nesses pontos para determinar o limite da razão. No entanto, podemos olhar para a derivada. Talvez uma dessas funções esteja se aproximando de zero mais rápido do que a outra. Em vez de encontrar o limite sin ( x ) / x , vamos examinar o limite das derivadas. Talvez, olhando para as derivadas, possamos ter uma ideia do que acontece com sin ( x ) / x em x = 0.
Formalmente, a regra de L’Hopital diz que se você tem algumas funções, como f (x) e g (x) , e ambas se aproximam de zero quando x vai para algum número, como C , então o limite quando x se aproxima de C do a razão dessas funções é igual ao limite conforme x se aproxima de C da razão das derivadas dessas funções. Assim, o limite quando x vai para C de f (x) / g (x) é igual ao limite quando x vai para C de f` (x) / g` (x) .
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Vamos tentar fazer isso com o limite conforme x se aproxima de zero de sin ( x ) / x . Ambas as funções vão para zero quando x vai para zero, então podemos usar a regra de L’Hopital. Temos o limite quando x se aproxima de zero de sin ( x ) / x é igual ao limite quando x se aproxima de zero de d / dx (sin ( x )) / d / dx ( x ). Bem, a derivada de sin ( x ) é cos ( x ), e a derivada de x é 1. Agora, posso dividir e conquistar. O limite de x vai para zero de cos ( x) é 1, e o limite de 1 conforme x vai para zero é 1, então nosso limite é 1/1, ou 1. Fantástico! Agora podemos encontrar os limites de funções mais complicadas, funções que vão a zero.
Regra de L’Hopital, parte dois
Que tal algo como o limite quando x vai para o infinito de e ^ x / x ? Novamente, vamos usar a regra de L’Hopital, mas vamos usar uma forma ligeiramente diferente. A regra de L’Hopital realmente funciona para limites que vão até o infinito também. Então, se você tem as funções f (x) e g (x) , e o limite quando x vai para C de ambos é infinito em vez de zero, você pode usar a regra de L’Hopital e, em vez disso, olhar para os limites das derivadas .
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No caso de e ^ x / x , ambos e ^ x e x vão se aproximar do infinito conforme x vai para o infinito. Posso usar a regra de L’Hopital e encontrar o limite da derivada de cima e a derivada de baixo. A derivada de e ^ x é apenas e ^ x , e a derivada de x é apenas 1. Posso reescrever meu limite porque o limite de x vai para o infinito como e ^ x / 1. Bem, como x vai para o infinito, e ^ x vai para o infinito e 1 fica apenas 1. Portanto, meu limite é o infinito.
Resumo da lição
A regra de L’Hopital , determinada por disputas entre matemáticos suíços e franceses, diz que o limite conforme x vai para algum número de uma fração de duas funções é igual ao limite a x vai para esse mesmo número da fração dessas derivadas dessas funções . Isso só funciona se f (x) / g (x) fornecer 0/0 ou infinito / infinito. Nesses casos, vamos olhar para as derivadas, ou a inclinação, à medida que avançamos em direção ao nosso limite.