Transformações no plano de coordenadas
Você já se perguntou se poderia pegar um objeto bidimensional e movê-lo ao redor do plano de coordenadas? Bem, você pode! Na verdade, aprender como fazer isso pode ser fundamental para a engenharia de software, modelagem biológica e, é claro, matemática.
Podemos mudar a localização, forma e tamanho de uma figura completando uma transformação . Existem quatro transformações que podem ser feitas em um plano de coordenadas para figuras bidimensionais.
Traduções
Uma tradução é um slide que move uma figura bidimensional para cima ou para baixo e para a esquerda ou direita. Para determinar se uma figura foi traduzida, basta olhar para as duas figuras.
A figura original abaixo é o retângulo ABCD. A imagem , que é a figura traduzida, é o retângulo A’B’C’D ‘. Usamos o apóstrofo para denotar que essas são as coordenadas correspondentes da nova figura.
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Como você pode ver, o retângulo não mudou de tamanho, mas apenas a localização. O ponto A estava em (1, 4) e agora está em (-2, 0). Isso significa que a figura original foi deslocada para a esquerda 2 e para baixo 4. Se olharmos para cada ponto, B (4, 4) e B ‘(2,0), C (4,2) e C’ (2 , -2); e D (1, 2) e D ‘(-1, -2) a mesma transformação ocorreu.
Rotações
Uma rotação gira uma figura bidimensional no plano de coordenadas um certo número de graus em torno de um certo ponto. As rotações mais comuns são voltas sobre a origem e 90 graus, 180 graus e 270 graus. Cada uma dessas voltas pode ser no sentido horário ou anti-horário.
Existem certas regras para cada rotação.
- Girar uma figura 90 graus no sentido anti-horário e 270 graus no sentido horário em torno da origem são a mesma rotação, e as coordenadas vão de (x, y) a (-y, x).
- Girar uma figura 270 graus no sentido anti-horário e 90 graus no sentido horário em torno da origem são a mesma rotação e as coordenadas vão de (x, y) a (y, -x).
- Girar uma figura 180 graus no sentido horário e anti-horário resultará na mesma figura, onde as coordenadas vão de (x, y) a (-x, -y).
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O mesmo triângulo foi girado em torno da origem (0,0) 90 graus no sentido anti-horário, 180 graus no sentido anti-horário e 270 graus no sentido anti-horário. As coordenadas seguem as regras listadas acima. O ponto original B (1, 3) muda para B ‘(- 3, 1) após uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. Então B (1, 3) muda para B ‘(- 1, – 3) após uma rotação de 180 graus. Então B (1, 3) muda para B » (3, -1) após uma rotação de 270 graus no sentido anti-horário.
Reflexões
Uma reflexão vira uma figura bidimensional no plano de coordenadas sobre uma linha ou ponto. Reflexos de linha são os reflexos mais comuns. Uma figura bidimensional pode ser refletida sobre o eixo x, eixo y ou uma linha específica no plano de coordenadas.
A orientação da figura bidimensional muda quando uma figura é refletida. A orientação de uma figura é a ordem em que os pontos são rotulados.
No exemplo abaixo, o triângulo ABC é refletido sobre o eixo x. No triângulo original (roxo), os vértices são identificados como ABC se os lermos no sentido horário. No triângulo reflexo (azul), os vértices são marcados como A’C’B ‘se os lermos no mesmo sentido horário.
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Uma reflexão pode ser identificada no plano de coordenadas observando a orientação dos vértices. As letras aparecerão em uma ordem diferente se a figura foi refletida.
Dilatações
Uma dilatação é uma mudança no tamanho e na forma de uma figura. Uma dilatação pode ser:
- uma redução, onde a nova imagem é menor que a figura original
- uma ampliação, onde a nova imagem é maior do que a figura original.
As dilatações têm fatores de escala , que são a quantidade pela qual a figura foi alterada. As dilatações são mais fáceis de ver no plano de coordenadas porque a nova figura não tem o mesmo tamanho da figura original.
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No exemplo acima, o retângulo ABCD foi dilatado por um fator de escala para 2. Todas as coordenadas foram multiplicadas por 2 para obter as coordenadas da nova imagem.
Resumo da lição
Existem quatro transformações que podem ser identificadas no plano de coordenadas.
- Uma tradução é um slide, onde uma figura acaba de ser movida para a esquerda ou direita e / ou para cima ou para baixo. A figura ainda terá a mesma orientação (a ordem em que os pontos são rotulados) da figura original.
- Uma rotação é uma volta, onde uma figura foi girada em torno de um ponto, um certo número de graus. A figura ainda terá a mesma orientação da figura original, e a figura ainda será a mesma da figura original.
- Um reflexo é um flip, onde uma figura foi virada sobre uma linha. A figura ainda será a mesma da figura original, mas a orientação dos vértices não será a mesma.
- Uma dilatação é uma mudança no tamanho da figura, onde uma figura foi ampliada ou reduzida. A figura ainda terá a mesma orientação da figura original, mas não terá o mesmo tamanho da figura original.