A Lei de Sines
A ambigüidade é uma coisa muito interessante em matemática. Você não pensaria que uma lei matemática lhe daria duas respostas diferentes para o mesmo problema. Mas às vezes acontece. Nesta lição, daremos uma olhada nesta estranha ambigüidade que resulta quando certas condições são satisfeitas quando usamos a lei dos senos, que é muito útil para resolver problemas envolvendo triângulos.
A lei dos senos nos diz como os lados do triângulo estão relacionados aos ângulos do triângulo. O nosso triângulo tem lados um , b e c com ângulos A, B e C. O ângulo A é o lado oposto um , o ângulo B é oposto ao lado b , e o ângulo C é oposto ao lado c . Lembre-se: lado sobre o seno do ângulo oposto. A lei dos senos funciona para qualquer triângulo.
O Caso Ambíguo
Mas não funciona em todos os casos. Quando você recebe dois lados adjacentes de um triângulo seguidos de um ângulo, a lei dos senos lhe dá duas respostas. Chamamos essa situação de caso do ângulo lateral. Você pode imaginar essas duas possibilidades balançando o lado entre os dois ângulos desconhecidos para ver se consegue formar outro triângulo. Para o nosso triângulo, se girássemos o lado a para a esquerda, veríamos outra forma de triângulo quando ele tocasse o lado desconhecido novamente. Portanto, temos um possível triângulo obtuso e um possível triângulo agudo.
Mas tenha cuidado
Mas devemos ter cuidado ao aplicar a lei dos senos. Veja, a lei dos senos nos dará apenas um desses ângulos se estivermos usando uma calculadora. Para encontrar o outro, precisamos subtrair nossa resposta da calculadora de 180. E mesmo que tenhamos duas respostas, ainda pode haver apenas uma resposta. Você tem que verificar visualmente como fizemos acima. Ou você pode olhar para nossas duas respostas e ver qual delas funciona com nosso ângulo conhecido. Se os dois ângulos funcionarem, o que significa que não somam mais de 180 com o nosso triângulo conhecido, então temos duas respostas possíveis. Mas se um dos ângulos soma 180 ou mais com nosso ângulo conhecido, então temos apenas uma resposta possível.
Exemplo
Vejamos um exemplo. Encontre a medida do ângulo x . Precisamos encontrar a medida do ângulo x , temos um ângulo que mede 33 e dois lados que medem 4,7 e 6,3. Para encontrar a medida do ângulo x , precisamos usar a lei dos senos, pois nosso triângulo não é um triângulo especial, como um triângulo retângulo. Podemos primeiro rotular nossos lados e seus ângulos opostos correspondentes. Podemos rotular o 4.7 como lado a e o 6.3 como lado b . O lado desconhecido será o lado c . Agora, os ângulos opostos correspondentes são 33 para o ângulo A, x para o ângulo B e um ângulo desconhecido C. Uma vez que não temos nenhuma informação para o ângulo C ou lado c, podemos pular essa parte da lei dos senos. Resta-nos o seguinte: 4,7 / sin (33) = 6,3 / sin ( x ). Resolvendo isso para nossa variável x , obtemos o seguinte: x = 46,89.
Então, na primeira avaliação, obtemos uma medida do ângulo de 46,89 graus, aproximadamente 47 graus. No entanto, como temos o caso do ângulo lateral, podemos apenas ter a situação em que há duas soluções possíveis. Vamos ver o que o outro pode ser. Subtraímos 46,89 ou 47 de 180. Obtemos 180 – 47 = 133 graus. Agora temos que verificar se ambas as respostas são válidas. Se somarmos 47 a 33, obtemos 80, o que significa que nosso terceiro ângulo é 100, formando um triângulo legítimo. Que tal 133 graus? Se somarmos 133 a 33, obtemos 166. Isso significa que nosso terceiro ângulo é 14. Isso também cria um triângulo legítimo, portanto, ambas as respostas funcionam. Portanto, temos duas respostas possíveis aqui.
Agora lembre-se, você vai se deparar com essa situação de duas respostas possíveis quando você tem o caso do ângulo lateral, quando você é dado a lados adjacentes, seguido por um ângulo. Caso contrário, a lei dos senos lhe dará a resposta certa.
Resumo da lição
Vamos revisar. A lei dos senos é muito útil para resolver problemas envolvendo triângulos. Nosso triângulo tem lados a , b e c com ângulos A, B e C. O ângulo A é o lado oposto a , o ângulo B é o lado oposto b e o ângulo C é o lado oposto c. Lembre-se: lado sobre o seno do ângulo oposto. A lei dos senos tem um caso ambíguo em que você pode ter duas soluções possíveis. Você obtém este caso quando recebe dois lados adjacentes, seguidos por um ângulo. Isso é chamado de caso de ângulo lateral. Quando você pega esse caso, é possível ter duas soluções que funcionem. Você terá que verificar as duas respostas. Ao avaliar sua lei de senos, você receberá apenas uma resposta. Para encontrar a outra resposta possível, subtraia a resposta da calculadora de 180 e, em seguida, verifique as duas respostas para ver se formarão um triângulo legítimo. Lembre-se de que todos os ângulos de um triângulo precisam somar 180. Se somar mais de 180, não funcionará.