Números Algébricos
Na álgebra, os números se enquadram em duas categorias: algébrico ou transcendental. É importante entender a diferença entre os números algébricos e transcendentais porque esses números são a base da álgebra e da matemática superior.
Antes de entrarmos nas definições dessas duas categorias, vamos revisar brevemente os polinômios, coeficientes e números racionais. Os números racionais são números que podem ser escritos como a divisão de dois inteiros. Lembre-se de que polinômios com coeficientes racionais são funções, como x + 4 e x ^ 2 + 3 x – 1. Nossos coeficientes – 1, 4 na primeira função e 1, 3, -1 na segunda função – são todos números racionais . Para encontrar a solução para um polinômio, definimos o polinômio igual a 0 e, em seguida, resolvemos para a variável. Um número algébrico é qualquer número que seja a solução para um polinômio com coeficientes racionais.
Por exemplo, 5 é um número algébrico porque é a solução para x – 5 = 0. A raiz quadrada de 5 também é um número algébrico porque é a solução para x ^ 2 – 5 = 0. O número imaginário i também é um número algébrico porque é a solução para x ^ 2 + 1 = 0. Como podemos ver, todo número algébrico é definido por um polinômio, razão pela qual dizemos que os números algébricos são definíveis.
Embora todos os números racionais sejam algébricos, nem todos os números algébricos são racionais. Os números algébricos podem ser radicais, números irracionais e até mesmo o número imaginário. Enquanto o número for a solução para um polinômio com coeficientes racionais, ele é incluído na categoria dos números algébricos.
Números Transcendentais
Se um número não for um número algébrico, será considerado um número transcendental . Portanto, números transcendentais são aqueles números que não são as soluções para polinômios com coeficientes racionais.
Aqui estão alguns exemplos de números transcendentais.
O primeiro número transcendental provado foi a constante de Liouville , 0,11000100000000000000000100 ……, onde existe um 1 para cada n! casas após o ponto decimal. 1! é igual a 1, portanto, há um 1 na primeira casa após o decimal. 2! é igual a 2, portanto, há um 1 na segunda casa após o decimal. 3! é igual a 6, portanto, há um 1 na sexta casa após o decimal.
O próximo número a ser provado como um número transcendental foi a constante e . Foi provado no ano de 1873. Em 1884, o número pi provou ser um número transcendental também.
A constante de Liouville, a constante e e o número pi são todos números que você não pode obter resolvendo um polinômio com coeficientes racionais. Não importa o quanto você tente!
Outro aspecto dos números transcendentais é que eles também são irracionais. Um número irracional é um número que não pode ser escrito como a fração de dois inteiros. Esses são números decimais que vão até o infinito sem se repetir. Mas só porque todos os números transcendentais são irracionais não significa que todos os números irracionais são transcendentais.
Quão comuns são esses números?
Então, qual tipo de número é mais comum? Tanto os números algébricos quanto os transcendentais são infinitos em quantidade, mas os números transcendentais são muito mais comuns. Para nos ajudar a entender o porquê, vamos usar uma analogia.
Imagine por um minuto que temos uma bolsa que contém um número infinito de letras e espaços. Você pode desenhar quantos quiser, mas deve colocá-los na ordem em que foram desenhados. Com que frequência você acha que terminaria com uma frase adequada em vez de um disparate completo?
Agora, mesmo que esteja condenado a repetir este exercício para sempre, você decide fazer uma pequena pausa depois de ter feito isso apenas alguns zilhões de vezes. Ao examinar todas as combinações com seu olho realmente aguçado, você identifica três combinações que são frases reais. As frases eram muito fáceis de contar, então diríamos que eram contáveis. Se você então tentar contar todas as outras combinações, provavelmente perderá a esperança devido ao grande número delas e dirá que são incontáveis.
Os números algébricos são como as sentenças. Não conhecemos todos eles, mas são bem definidos e, embora haja uma quantidade infinita deles, os números algébricos são contáveis. Por outro lado, os números transcendentais são como todas as outras combinações sem sentido. Eles também são infinitos, mas como vimos em nosso pequeno tamanho de amostra de alguns zilhões, havia muito mais combinações sem sentido do que sentenças reais.
Porque existem tantos números transcendentais, em matemática, dizemos que eles são incontáveis. Portanto, os números transcendentais são incontáveis.
Resumo da lição
Agora você consegue se lembrar do que acabamos de cobrir?
Um número algébrico é qualquer número que seja uma solução para um polinômio com coeficientes racionais. Embora todos os números racionais sejam algébricos, nem todos os números algébricos são racionais. Os números algébricos podem ser radicais, números irracionais e até mesmo o número imaginário i . E embora sejam infinitos, eles são contáveis e definíveis.
Um número transcendental é qualquer número que não seja um número algébrico. Exemplos de números transcendentais incluem a constante de Liouville , a constante e e o número pi. Todos os números transcendentais são irracionais, mas nem todos os números irracionais são transcendentais. Os números transcendentais são infinitos e incontáveis porque existem muito mais transcendentais do que algébricos.
Resultados de Aprendizagem
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Lembre-se da definição para números algébricos e transcendentais
- Identifique um número algébrico ou transcendental
- Explique por que os números transcendentais são considerados incontáveis