Expressões Radicais
Quando você pensa em uma expressão radical, pode pensar em alguém em um skate dizendo que alguma expressão é ‘totalmente radical’! No entanto, em matemática, uma expressão radical é uma expressão com uma variável, número ou combinação de ambos sob um símbolo de raiz.
Uma expressão radical assume a forma geral:
n x
Para avaliar essa expressão, encontramos o número que precisamos multiplicar por ele mesmo n vezes para obter x .
Dito isso, é provável que alguém no skate ainda diga que esses tipos de expressões são ‘totalmente radicais’ porque são muito interessantes!
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Por exemplo, considere a quarta raiz de 16, 4 √16. Para avaliar essa expressão, precisamos encontrar o número que multiplicaríamos por ele mesmo 4 vezes para obter 16.
4
Vemos que a quarta raiz de 16 é 2 porque, se multiplicarmos 2 por ele mesmo 4 vezes, obteremos 16.
Como esses tipos de números aparecem na matemática e na vida cotidiana com bastante frequência, é uma boa ideia estar familiarizado com eles em todas as suas formas. Acabamos de ver a forma geral de uma expressão radical, vamos dar uma olhada em outra notação que usamos para esses tipos de expressões.
Notação para expoentes radicais para racionais
Como sugere o título desta lição, também podemos representar expressões radicais usando expoentes racionais. Um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração. Um expoente é o número ao qual elevamos outro número (a variável ou expressão) e indica quantas vezes multiplicamos esse número, variável ou expressão por si mesmo para avaliar a expressão.
Portanto, um expoente racional é um número que pode ser escrito como uma fração à qual elevamos outro número, variável ou expressão. Podemos escrever uma expressão radical usando expoentes racionais da seguinte maneira:
n x x 1 / n
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Por exemplo, considere nosso exemplo da quarta raiz de 16. Podemos reescrever essa expressão usando essa notação.
4 1/4
A notação não muda a forma como avaliamos a expressão. Ou seja, x 1 / n ainda é igual ao número que precisamos multiplicar por ele mesmo n vezes para obter x . Podemos ver por que isso ocorre observando uma regra especial que os expoentes seguem:
( a b ) c = a bc
A expressão x 1 / n é igual ao número que multiplicamos por ele mesmo n vezes para obter x . Portanto, se multiplicam x 1 / n , por si só n vezes, ou aumentá-lo para o n th poder, devemos obter x recuar.
( x 1 / n ) (( x 1 / n ) … ( x 1 / n ) = ( x 1 / n ) n = ( x 1 / n xn ) = x 1 = x
Com certeza! Vemos que se multiplicarmos x 1 / n por ele mesmo n vezes, obtemos x . Vamos aplicar este caso geral a um exemplo envolvendo números!
Exemplo
Considere a seguinte expressão radical:
3
Vamos escolher essa expressão respondendo a algumas perguntas sobre ela!
Em primeiro lugar, você pode reescrever essa expressão usando nossa notação que envolve expoentes racionais? Eu aposto que você consegue! Tudo o que temos a fazer é elevar o número abaixo do radical, 64, à potência de 1 / n , onde n é a raiz que estamos obtendo. Nesse caso, n = 3. Portanto, temos o seguinte.
3 1/3
Não foi tão difícil! Agora, você sabe quantas vezes precisaríamos multiplicar essa expressão inteira por si mesma para obter 64? Hmmm … bem, a definição de x 1 / n é o número que precisamos multiplicar por ele mesmo n vezes para obter x . Neste caso, x é 64 e n é 3. Portanto, 64 1/3 é o número precisamos multiplicar por si só 3 vezes a fim de obter 64. Isto diz-nos que se multiplicarmos a expressão por si só 3 vezes, nós obterá 64.
64 1/3 × 64 1/3 × 64 1/3 = (64 1/3 ) 3 = 64 1/3 × 3 = 64 1 = 64
Yay! Nós descobrimos! Ok, uma última pergunta. Você consegue descobrir a que número esta expressão é igual? Vamos ver … seria igual ao número que precisamos multiplicar por ele mesmo 3 vezes para obter 64. Isso pode exigir algumas tentativas e erros. Sabemos que será um número menor, pois multiplicar um número por ele mesmo 3 vezes pode ficar muito grande rapidamente, e 64 não é um número tão grande. Vamos começar com 2 e testar alguns números!
| 2 × 2 × 2 = 8 | Não é o nosso número |
| 3 × 3 × 3 = 27 | Não é o nosso número |
| 4 × 4 × 4 = 64 | Ding Ding Ding! |
Vemos que quando multiplicamos 4 por ele mesmo 3 vezes, obtemos 64. Portanto, 64 1/3 = 4.
Ufa! Tudo isso a partir de uma pequena expressão radical!
Resumo da lição
Uma expressão radical é uma expressão com uma variável, número ou combinação de ambos sob um símbolo raiz. A forma geral de uma expressão radical é a seguinte:
n x
Avaliamos essas expressões encontrando o número que precisamos multiplicar por ele mesmo n vezes para obter x .
Também podemos escrever expressões radicais usando uma notação que envolve expoentes racionais da seguinte maneira:
n x x 1 / n
A definição permanece a mesma para esta notação. Ou seja, x 1 / n é igual ao número que precisamos multiplicar por ele mesmo n vezes para obter x .
O conhecimento das expressões radicais e das suas várias formas permite-nos compreender melhor estes tipos de expressões e permite-nos analisá-las melhor. Vemos que há mais do que aparenta em uma expressão radical! Eu disse que essas coisas eram ‘totalmente radicais’!