Notação exponêncial
Você já se deparou com um número muito grande ou muito pequeno? Por exemplo, a distância entre a Terra e Plutão é de 7.500.000.000 quilômetros, que é um número muito grande. Agora, considere a massa de um átomo de hidrogênio, ou 0,0000000000000000000000000016727 gramas, que é um número muito pequeno. Ambos os números são expressos na forma padrão e envolvem muitos zeros.
Felizmente, temos uma maneira de escrever números grandes e pequenos com muitos zeros: notação exponencial. A notação exponencial é um método simples de expressar problemas de multiplicação longos ou repetidos, como 7,5 multiplicado por 10 nove vezes, o que equivale a 7.500.000.000.
A notação exponencial aproveita o fato de que multiplicar ou dividir por múltiplos de 10 move a vírgula decimal de um número para a esquerda ou para a direita, o que nos permite eliminar zeros e representar o número de forma compacta.
Conversão
Para converter da notação exponencial para a forma padrão, multiplicamos ou dividimos por potências de 10. Vejamos os padrões que ocorrem ao multiplicar por potências de 10.
- Quando multiplicamos um número por 10, ou 10 ^ 1, estamos adicionando um zero ao final do número e movendo a vírgula uma unidade para a direita; e
- Quando multiplicamos um número por 100, ou 10 ^ 2, estamos adicionando dois zeros ao final do número e movendo o ponto decimal duas unidades para a direita
Quando multiplicamos um número por 10 ^ n , estamos apenas adicionando n zeros ao final do número e movendo a vírgula n casas para a direita, como em 4 x 10 ^ 5 = 400.000. Quando multiplicamos 4 por 10 ^ 5, movemos a casa decimal cinco unidades para a direita para 400.000, convertendo assim 4 x 10 ^ 5 para a forma padrão.
Agora, vamos considerar mover o decimal para a esquerda. Para fazer isso, dividimos por potências de 10. Dividir por 10 ^ n potência é o mesmo que multiplicar por 10 ^ – n potência. Portanto, quando multiplicamos um número por 10 ^ – n , estamos movendo o ponto decimal n unidades para a esquerda.
Por exemplo, 4 x 10 ^ -5 = 0,00004. Quando multiplicamos 4 por 10 ^ -5, movemos o ponto decimal cinco unidades para a esquerda para obter 0,00004, convertendo-o assim para a forma padrão.
Para converter um número da forma padrão em notação exponencial, sempre queremos ter certeza de que o ponto decimal está posicionado de tal forma que tenhamos apenas um dígito diferente de zero no lado esquerdo do decimal. Por exemplo, se quisermos escrever 157.000.000 em notação exponencial, queremos que nosso ponto decimal esteja entre 1 e 5, de modo que haja apenas um dígito à esquerda do decimal. Para converter, seguimos estas etapas e as aplicamos ao nosso exemplo:
1.) Determine o número de casas necessárias para mover o decimal para que haja apenas um dígito à esquerda do decimal. Em geral, ligue para este número n . Como o ponto decimal no exemplo deve estar entre 1 e 5, ele precisa se mover oito casas, então n = 8.
2.) Determine se o ponto decimal precisa se mover para a esquerda ou para a direita para que haja apenas um dígito à sua esquerda. Para mover o decimal para a esquerda, multiplique por 10 ^ n ; para mover o decimal para a direita, multiplique por 10 ^ – n . Nesse caso, mova as oito casas decimais para a esquerda multiplicando por 10 ^ 8.
3.) Escreva o número com a vírgula na sua nova casa, ou entre o 1 e o 5, e elimine os zeros antes ou depois do último número diferente de zero; o resultado é 1,57. Agora, escreva o número multiplicado por 10 ^ 8 encontrado na etapa dois: 157.000.000 = 1,57 x 10 ^ 8.
Seguindo essas três etapas, escrevemos nosso número em notação exponencial.
Problema de prática
Vamos revisitar um dos exemplos discutidos no início da lição. A massa de um átomo de hidrogênio é dada como 0,0000000000000000000000000016727 gramas. Para converter esse número em notação exponencial, queremos que nossa casa decimal esteja entre 1 e 6, de modo que tenha apenas um dígito à sua esquerda. Para fazer isso, movemos o ponto decimal 27 casas para a direita multiplicando por 10 ^ -27.
Agora escrevemos nosso número com a casa decimal no local apropriado e eliminamos os zeros antes de 1 para 1,6727. Quando multiplicamos 1,6726 por 10 ^ -27, o resultado é 0,0000000000000000000000000016727 na forma exponencial.
Resumo da lição
Vamos revisar brevemente o que aprendemos sobre notação exponencial. A notação exponencial é usada para escrever números muito grandes ou muito pequenos com muitos zeros expressos na forma padrão. Ao converter da forma padrão para a notação exponencial, o objetivo é acabar com um dígito diferente de zero no lado esquerdo da vírgula decimal, como em 0,00004, multiplicando ou dividindo. Os números na forma exponencial também podem ser convertidos para a forma padrão, multiplicando ou dividindo.
Para mover a vírgula decimal para a direita, multiplique por potências de 10, o que adicionará um zero ao final do número. Para mover o ponto decimal para a esquerda, divida por potências de 10, que é o mesmo que multiplicar por 10 ^ – n .