Números complexos
Imagine o seguinte: enquanto trabalha em um problema de matemática, você encontra um número que envolve a raiz quadrada de um número negativo, 3 + √ (-4). Huh, a raiz quadrada de um número, a , é igual ao número que multiplicamos por ele mesmo para obter a , então, como você tira a raiz quadrada de um número negativo? Dois positivos multiplicados juntos fornecem um número positivo, e dois negativos multiplicados juntos fornecem também um número positivo, portanto, parece impossível encontrar um número que possamos multiplicar por si mesmo e obter um número negativo.
A resposta está no número imaginário i , onde i = √ (-1). A criação do número i nos permitiu desenvolver números complexos. Por exemplo, considere √ (-4) em nosso número 3 + √ (-4).
- √ (-4) = √ (4 ⋅ -1) = √ (4) ⋅ √ (-1) = 2 i
Portanto, nosso número 3 + √ (-4) pode ser escrito como 3 + 2i, e este é um exemplo de um número complexo. Os números complexos são números da forma um + bi , onde um e b são números reais, e i = √ (-1).
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Quando um número complexo é dado na forma a + bi , dizemos que está na forma retangular . Podemos plotar esse número em um sistema de coordenadas, onde o eixo x é o eixo real e o eixo y é o eixo imaginário. Para traçar um + b i , começamos na origem, mover uma unidades ao longo do eixo real, e b unidades ao longo do eixo imaginário.
Se conectarmos o ponto traçado com a origem, chamaremos esse segmento de linha de vetor complexo e podemos usar o ângulo que o vetor faz com o eixo real junto com o comprimento do vetor para escrever um número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é r ∠ θ, onde r é o comprimento do vetor complexo a + bi , e θ é o ângulo entre o vetor e o eixo real.
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Chamamos θ o argumento do número e chamamos r o módulo do número. Estamos interessados em multiplicar e dividir números complexos na forma polar. Felizmente, existem algumas fórmulas interessantes que tornam isso bastante simples. Vamos dar uma olhada!
Multiplicando Números Complexos na Forma Polar
Multiplicar números complexos quando eles estão na forma polar é tão simples quanto multiplicar e somar números. Simplesmente identificamos o módulo e o argumento do número complexo e, em seguida, nos conectamos a uma fórmula para multiplicar números complexos na forma polar.
Ou seja, dados dois números complexos na forma polar,
- c 1 = r 1 ∠ θ 1
- c 2 = r 2 ∠ θ 2
Podemos multiplicar esses números usando a seguinte fórmula:
- c 1 ⋅ c 2 = r 1 ⋅ r 2 ∠ (θ 1 + θ 2 ).
Em palavras, temos que multiplicar números complexos na forma polar, multiplicamos seus módulos juntos e somamos seus argumentos.
Por exemplo, suponha que desejamos multiplicar os números complexos 7 ∠ 48 e 3 ∠ 93, onde os argumentos dos números estão em graus. Primeiro, identificamos os módulos e argumentos de ambos os números.
- 7 ∠ 48 tem módulo 7 e argumento 48, então r 1 = 7 e θ 1 = 48
- 3 ∠ 93 tem módulo 3 e argumento 93, então r 2 = 3 e θ 2 = 93
Agora, simplesmente multiplicamos os módulos e adicionamos os argumentos, ou inserimos esses valores em nossa fórmula.
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OK! Temos que 7 ∠ 48 ⋅ 3 ∠ 93 = 21 ∠ 141. Muito fácil, hein?
Dividindo Números Complexos na Forma Polar
Semelhante à multiplicação de números complexos na forma polar, dividir os números complexos na forma polar é igualmente fácil. A única diferença é que dividimos os módulos e subtraímos os argumentos em vez de multiplicar e somar. A boa notícia é que é só dividir e subtrair números – é fácil!
Dados dois números complexos na forma polar,
- c 1 = r 1 ∠ θ 1
- c 2 = r 2 ∠ θ 2
Podemos dividir esses números usando a seguinte fórmula:
- c 1 / c 2 = ( r 1 / r 2 ) ∠ (θ 1 – θ 2 )
Por exemplo, suponha que desejemos dividir 9 ∠ 68 por 3 ∠ 24, onde 68 e 24 estão em graus. Simplesmente dividimos os módulos (9/3) e subtraímos os argumentos (68 – 24).
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Ta-da! Obtemos que 9 ∠ 68/3 ∠ 24 = 3 ∠ 44, e vemos que dividir números complexos na forma polar é tão fácil quanto multiplicar números complexos na forma polar!
Resumo da lição
Os números complexos são números da forma retangular um + bi , onde um e b são números reais e i = √ (-1). Podemos representar graficamente números complexos traçando o ponto ( a , b ) em um sistema de coordenadas imaginário. Se desenharmos um segmento de linha da origem até o número complexo, o segmento de linha é chamado de vetor complexo . Podemos usar o ângulo, θ, que o vetor forma com o eixo xe o comprimento do vetor, r , para escrever o número complexo na forma polar , r ∠ θ.
Se tivermos dois números complexos na forma polar:
- c 1 = r 1 ∠ θ 1
- c 2 = r 2 ∠ θ 2
Podemos multiplicar e dividir esses números usando as seguintes fórmulas:
- c 1 ⋅ c 2 = r 1 ⋅ r 2 ∠ (θ 1 + θ 2 ).
- c 1 / c 2 = ( r 1 / r 2 ) ∠ (θ 1 – θ 2 )
Essas fórmulas tornam a multiplicação e divisão de números complexos na forma polar uma brisa, o que é ótimo para quando esses tipos de números aparecem.