Trens e movimento Maglev
O trem mais rápido do mundo é um trem maglev no Japão. Foi monitorado viajando a 375 milhas por hora! Um trem maglev funciona com repulsão eletromagnética e nem chega a tocar os trilhos. Por causa disso, o único atrito significativo que experimenta é a resistência do ar chamada força de arrasto .
Vejamos a derivação de duas equações envolvendo um objeto movendo-se horizontalmente sob a influência do arrasto do ar: velocidade em relação ao tempo e aceleração em relação ao tempo.
Arrasto Linear
Digamos que o trem maglev se movendo horizontalmente experimenta uma força de arrasto linear, ou -kv . Vamos desenhar as forças horizontais no trem em um diagrama de corpo livre mostrando a força aplicada F e a força de arrasto -kv .
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Acabamos de concluir a primeira etapa na derivação de nossas duas equações de movimento.
Derivação da velocidade com respeito ao tempo
Assim como a manteiga de amendoim combina com a geléia, a segunda lei de Newton , ou força é igual a massa vezes aceleração (ΣF = ma), e os diagramas de corpo livre andam juntos. Como a força de arrasto depende da velocidade, a aceleração não será constante. Isso significa que temos que escrever a segunda lei de Newton em forma diferencial. Vamos fazer isso agora e conectar as forças horizontais: dv e dt , onde d representa a diferenciação.
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A próxima etapa é separar o dv e o dt , certificando-se de que o termo velocidade esteja do mesmo lado da equação que o dv .
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Agora podemos integrar cada lado separadamente. O lado dt tem apenas uma constante, portanto, começaremos com este lado primeiro. Usaremos o símbolo … para manter o lugar do lado direito da equação para que não nos distraia enquanto integramos o lado esquerdo.
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A seguir, vamos abordar a integral no lado direito da equação. Usaremos o … para segurar o lugar da solução do lado esquerdo para que não nos distraia.
A primeira etapa é realizar uma substituição em u. Definiremos o denominador igual a u , tomaremos sua derivada em relação a v , e então resolveremos para dv . Não podemos integrar a variável u com o dv , então substituiremos a expressão igual a dv por dv .
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Vamos retirar o termo (-1 / k ) e trazê-lo para o outro lado da equação.
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A integral de 1 / u é o logarítmico natural de u . Em seguida, substituímos u pelo que ele representa na equação de substituição u original e avaliamos entre os limites v e v 0 = 0 porque nosso objeto começa em repouso.
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Podemos reescrever a subtração dos dois termos de log natural como o log natural da razão entre o termo positivo e o termo negativo.
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Para eliminar o logaritmo natural, mostramos ambos os lados da equação como o expoente de e .
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Resolvendo para v e factoring, obtemos:
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A equação destacada em verde pode ser usada para determinar a velocidade da massa a qualquer momento.
Vamos agora derivar uma equação para a aceleração do objeto a qualquer momento.
Derivação da aceleração em relação ao tempo
A derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração.
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Vamos pegar a equação da velocidade que acabamos de derivar e tirar a derivada dela.
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Vamos distribuir F / k e, em seguida, derivar os dois termos. O primeiro termo é uma constante, por isso é eliminado. A derivada de e x é e x , mas temos t no expoente, então temos que usar a regra da cadeia e obter a derivada do expoente. Que será multiplicado pelo e prazo, eo k ‘s e os negativos cancelar.
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Nosso último passo é simplificar a equação.
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Agora temos a equação para a aceleração da massa a qualquer momento. Vejamos alguns gráficos das equações de velocidade e aceleração para visualizar esse movimento.
Gráficos
Se plotarmos a equação v (t) , vemos que a velocidade aumenta até que seja igual a F / k . A partir de então, a constante de estadias de velocidade porque a força de arrasto é igual à força aplicada F .
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O gráfico a (t) é a imagem espelhada do gráfico v (t) . Como a força de arrasto depende da velocidade, é inicialmente zero porque o trem não está se movendo em t = 0. Conforme o trem se move cada vez mais rápido, a força de arrasto aumenta até o ponto em que se iguala à força aplicada no trem. Este é o ponto onde o trem para de acelerar e se move com velocidade constante.
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Resumo da lição
Começamos a derivação de v (t) desenhando um diagrama de corpo livre das forças horizontais agindo sobre a massa. Existe uma força aplicada movendo o trem pela linha e uma força de arrasto atuando na direção oposta, que está linearmente relacionada à velocidade do trem.
Isso significa que a aceleração não é constante, o que requer o uso da forma diferencial da segunda lei de Newton : ΣF = m ( dv / dt ).
Conectamos as duas forças horizontais e separamos o dv e o termo com a velocidade de dt e integramos os dois lados da equação. Isso levou à equação v (t) , conforme mostrado por:
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O gráfico da equação v (t) mostra o aumento da velocidade até que a força de arrasto se iguale à força aplicada. Deste ponto em diante, o gráfico é uma linha reta indicando velocidade constante.
Tirar a derivada da equação velocidade-tempo nos dá a aceleração a qualquer momento. Esta equação é:
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O gráfico de aceleração versus tempo mostra uma aceleração máxima em t = 0 porque não há força de arrasto quando o objeto não está se movendo. A aceleração diminui exponencialmente à medida que a velocidade do objeto aumenta. Quando a força de arrasto é igual à força aplicada, a aceleração é zero.