Um modelo matemático para mercados financeiros
Desde o início do mercado de ações, os investidores vêm tentando ganhar vantagem. Os analistas de números há muito procuram um modelo matemático que possa prever o movimento dos preços. Se eles pudessem de alguma forma descobrir a fórmula secreta, eles poderiam se tornar ricos além de seus sonhos mais selvagens.
A equipe de Fischer Black, Myron Scholes e Robert C Merton tentou fazer exatamente isso. Eles criaram um modelo matemático abrangente para os mercados financeiros que contêm instrumentos derivativos. Sem um nome criativo, esse modelo ficou conhecido como modelo Black-Scholes-Merton.
A partir desse modelo maior, modelos e equações menores foram feitos com base nas mesmas suposições. Depois de anos desenvolvendo o modelo, Robert Merton é atribuído a primeira menção ao ‘modelo de precificação de opções Black-Scholes’ em 1973. Esse modelo teórico poderia ajudar os formadores de mercado de opções a precificar adequadamente as opções em todos os tipos de instrumentos financeiros. Seu trabalho foi tão inovador que vinte e quatro anos depois, em 1997, Robert C. Merton e Myron Scholes ganharam o Prêmio Nobel de Estudos Econômicos por seu trabalho.
Compreender os vários dados que entram no cálculo pode ajudar os comerciantes a entender se o mercado está superfaturando, subestimando ou precificando uma opção de forma justa. Aqui, discutiremos os vários fatores em detalhes e aprenderemos como usar o modelo para calcular os preços das opções.
A fórmula Black-Scholes para precificação de opções
A fórmula de Black-Scholes é um modelo matemático para calcular o preço das opções de venda e compra. Uma vez que as opções de venda e compra são distintamente diferentes, existem duas fórmulas que explicam cada opção. As opções de compra dão ao titular da opção o direito de comprar as ações subjacentes por um preço acordado a qualquer momento entre a data de hoje e o vencimento da opção. Os comerciantes que acreditam que as ações subjacentes irão subir com o tempo, compram essas opções de compra na esperança de ganhar dinheiro.
Por outro lado, as opções de venda dão ao detentor da opção o direito de vender as ações subjacentes por um preço acordado a qualquer momento entre hoje e o vencimento da opção. Os comerciantes que acham que uma ação vai cair podem comprar essas opções de venda na esperança de ganhar dinheiro se a ação cair.
A fórmula real do Black-Sholes parece complicada, mas na verdade é simples quando você a decompõe no básico. Os principais fatores da equação são:
- T = Tempo até o vencimento : Quanto tempo até o vencimento da opção, em anos;
- S = O preço atual : Preço da ação subjacente;
- K = Preço de exercício : preço acordado de execução da opção;
- r = A taxa livre de risco : uma taxa que um investidor poderia obter sem assumir nenhum risco (normalmente, o rendimento de letras do tesouro de 3 meses);
- σ = A volatilidade do preço : A volatilidade dos retornos das ações subjacentes, expressa em porcentagem.
Aqui está a notação matemática da fórmula:
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Esta fórmula inclui a função N (x), que é a função de distribuição normal padrão cumulativa. A função de distribuição normal padrão cumulativa é definida como a probabilidade de uma variável aleatória com distribuição normal, uma média de 0 e variância de ½ caindo no intervalo de {-x, x}. É um cálculo complicado lidar com a área sob uma curva de distribuição normalizada.
Calculando o valor teórico da opção
Para fins de cálculo de opções, você não precisa se tornar um PhD em matemática. Existem centenas de calculadoras online gratuitas que você pode usar para inserir valores facilmente acessíveis para calcular a fórmula de Black-Scholes.
Vamos fazer um cálculo de amostra com XYZ Corp Stock e definir esses valores.
Tempo até o vencimento (T) = 1 ano
Preço atual (S) = $ 120
Preço de exercício (K) = $ 100
Taxa livre de risco (r) = 1%
Volatilidade do preço (?) = 50%
Primeiro, você precisa calcular os valores para d1 e d2, para que possa lançar esses valores na função de distribuição normal padrão cumulativa.
Usando esses valores e uma calculadora que encontrei online, consegui chegar a um valor teórico de $ 34,20 para a opção de compra. O preço da opção de venda no mesmo exercício é derivado do cálculo da opção de compra.
Usar os mesmos valores de entrada na equação acima nos dá o preço teórico da opção de venda no mesmo exercício. A calculadora online que usamos antes nos dá um valor de $ 12,22 para a opção de venda.
Por que alguém teria todo esse trabalho para fazer esses cálculos? Digamos que Sarah esteja procurando negociar com opções de ações da XYZ Corp, mas não tem certeza de qual opção deseja comprar. Cada data de expiração de opção tem várias opções para escolher. Supondo que ela ache que as ações da XYZ Corp irão subir no próximo ano e que ela queira comprar uma opção de compra, ela tem muitos preços de exercício diferentes para examinar.
Conhecendo o valor teórico de várias opções diferentes em vários strikes, ela pode compará-los ao preço de negociação atual das opções para encontrar oportunidades. Olhando para o strike de $ 100 no exemplo com um valor teórico de $ 34,20, Sarah pode comparar o preço de negociação atual da opção. Se a opção estiver sendo negociada abaixo de $ 34,20, a opção pode estar subvalorizada pelo mercado. Ao investir em opções subvalorizadas como essa, Sarah deu a si mesma uma vantagem. Se ela puder descobrir grandes desvios do valor teórico na cadeia de opções, poderá obter uma vantagem ainda maior no mercado.
Não fique muito animado em tentar descobrir desvios gigantescos da precificação de mercado e da precificação de opções teóricas. Os formadores de mercado estão bem cientes do método Black-Scholes e tendem a precificar as opções de acordo.
Resumo da lição
A fórmula de Black-Scholes é um modelo matemático para calcular o preço das opções de venda e compra. A fórmula leva em consideração:
Tempo de vencimento : Quanto tempo até o vencimento da opção, em anos;
O preço atual : O preço atual das ações subjacentes;
Preço de exercício : O preço acordado de execução da opção;
A taxa livre de risco : a taxa que um investidor poderia obter ao não assumir nenhum risco (normalmente, o rendimento de títulos do tesouro de 3 meses);
A volatilidade do preço : a volatilidade dos retornos das ações subjacentes, expressa como uma porcentagem.
Ao calcular esses valores teóricos, os negociantes de opções tomam decisões baseadas em probabilidade sobre quais opções comprar e vender.