Famílias de funções
Você deve estar familiarizado com o fato de que, quando alguém joga uma bola para o alto, a altura da bola do solo pode ser representada por meio de uma função quadrática. Por exemplo, suponha que Tommy jogue uma bola para o ar.
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Observe que a altura da bola em relação ao solo aumenta, atinge o máximo e depois diminui. Essa forma é chamada de parábola e é a forma do gráfico de uma função quadrática.
Agora, no caso de Tommy, a altura da bola pode ser representada com a função:
h ( x ) = -16 x 2 + 64 x + 5
onde x é o número de segundos após a bola deixar as mãos de Tommy. (Já que a bola está começando na mão de Tommy, ela começa a cerca de um metro e meio do chão.) Mas, o que aconteceria se Tommy jogasse a bola para o alto enquanto estivesse em uma varanda a 3 metros do chão? Se for esse o caso, a função que representa a altura da bola é:
f ( x ) = -16 x 2 + 64 x + 15
Hmm, então o que aconteceria se Tommy jogasse a bola um pouco mais forte ou mais suave inicialmente, ou se ele jogasse a bola em um ângulo diferente inicialmente?
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Em cada caso, não importa como variemos as condições, a função ainda é quadrática. São apenas as constantes e os coeficientes que são alterados. Aqui está um fato interessante! O grupo de diferentes funções quadráticas que podem representar a altura da bola constituem uma família de funções.
Uma família de funções é um grupo de funções que podem ser derivadas da transformação de uma única função chamada função pai . A função parental é a função mais básica na família de funções, a função da qual todas as outras funções na família podem ser derivadas.
Neste caso, a família de funções é a função quadrática e a função pai é:
f ( x ) = x 2
Observe que se pegarmos f ( x ) = x 2 e deslocarmos para a direita horizontalmente, esticarmos verticalmente, refletirmos sobre o eixo xe deslocarmos para cima verticalmente, terminaremos com a função inicial de Tommy.
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Qualquer função em uma família de funções pode ser derivada da função pai passando por algumas transformações. Saber que tipo de transformação usar é outra lição, mas podemos ter uma ideia de como as famílias de funções são úteis!
Exemplos do mundo real
Agora que derivamos a função de Tommy da função pai, podemos usá-la para analisar a situação. Por exemplo, podemos determinar quando a bola vai atingir o solo definindo a função igual a zero (quando a altura do solo é zero) e resolvendo para x .
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Vemos que a bola atinge o solo logo após 4 segundos. Veja como essas famílias de funções são úteis quando se trata de modelar e analisar o mundo real?
Muito legal até agora, hein? Bem, o que é ainda mais interessante é que existem muitos outros casos em que famílias de funções podem ser usadas para modelar o mundo ao nosso redor. Acabamos de ver que podemos usar a família quadrática de funções para representar uma bola sendo lançada para o ar. A função depende das condições variáveis do cenário, mas é sempre uma função quadrática.
Em geral, famílias de funções são usadas para modelar fenômenos do mundo real nos quais as condições variam, portanto, o tipo de função usada para representar os fenômenos vêm todos da mesma família de funções, mas variam dentro da família com base nas condições.
Como outro exemplo, considere algo tão simples como por quanto tempo uma vitamina é detectável em nosso corpo depois de comê-la. A taxa em que uma vitamina deixa nosso corpo pode ser modelada com a família de funções exponenciais.
Uma função exponencial é aquela em que a variável está no expoente.
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Vemos que as vitaminas saem do corpo rapidamente no início e depois mais lentamente. Em geral, esse tipo de padrão é modelado pela função:
f ( x ) = a ⋅ b x + c
Esta é a forma geral de uma função exponencial! É claro que, em termos de nosso exemplo de vitaminas, a , b e c mudam dependendo de coisas como o tipo de vitamina ou a quantidade de vitamina ingerida, mas a função em si permanece dentro da família exponencial de funções.
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Alguma suposição sobre qual seria a função-mãe das funções exponenciais? Bem, tente pensar na função exponencial mais básica. Vou te dar uma grande dica:
É g ( x ) = b x .
Ok, isso foi mais uma resposta do que uma dica, mas você chegou perto? Novamente, a função pai é a função mais básica em uma família de funções e aquela da qual todas as outras funções semelhantes podem ser derivadas.
Vimos dois exemplos de uso de famílias de funções para modelar o mundo real. Acontece que essas famílias de funções podem ser usadas para modelar o mundo real com bastante frequência!
Resumo da lição
Famílias de funções são grupos de funções que podem ser derivados de uma função dentro do grupo denominado função pai. Uma função parental é a função mais básica dentro de uma família de funções da qual todas as outras funções da família podem ser derivadas. Alguns exemplos comuns de famílias de funções incluem funções quadráticas, funções lineares, funções exponenciais, funções logarítmicas, funções radicais ou funções racionais.
Sempre que temos um fenômeno que é sempre representado por um tipo particular de função, ele pode ser modelado usando uma transformação da função-pai nessa família de funções. Famílias de funções podem ser usadas em engenharia, construção, física, astronomia, biologia, química – na verdade, em qualquer lugar do mundo real. Agora você está familiarizado com essas famílias de funções e como elas se relacionam com o mundo ao nosso redor!