Modelagem Matemática - Hardy-Weinberg: Laboratório de Biologia

Definindo e criando modelos matemáticos

Quando a maioria de nós pensa em um modelo em ciência, pensamos em um objeto tangível – talvez uma série de bolas de isopor pintadas para representar a ordem dos planetas em nosso sistema solar ou uma representação plástica de uma célula vegetal, ampliada e com uma chave presente para indicar todas as suas estruturas externas e internas. Porém, esses modelos físicos são apenas um tipo de modelo científico.

Por definição, um modelo científico é qualquer objeto ou processo usado para simplificar o mundo real. Isso significa que os modelos científicos também incluem coisas que não podemos ver ou tocar, como programas de computador e equações matemáticas. Como os cientistas criam modelos matemáticos? Embora não haja um método de ‘conjunto’, a maioria dos cientistas concorda em alguns passos básicos.

Primeiro, você deve fazer uma pergunta. ‘O que acontecerá se?’ ou ‘por que faz?’ são bons pontos de partida para criar um modelo. Em seguida, você deve refinar a pergunta até que fique clara e concisa. Uma equação matemática não pode lidar com muitos parâmetros de uma vez; deve abordar um conjunto específico de variáveis. Freqüentemente, são necessárias várias tentativas para refinar uma questão científica.

A terceira etapa é descrever o sistema biológico qualitativamente (ou seja, usando termos não matemáticos ou estatísticos). No caso da evolução, que é baseada na genética, você pode descrever o ciclo de vida de um organismo usando termos como fertilização, nascimento e migração. É durante essa etapa que você começará a determinar as limitações do seu modelo. Lembre-se, a vida é uma bagunça! Nem todos os organismos adultos se reproduzem com sucesso e nem todos os descendentes sobrevivem. Essas e outras limitações podem afetar a eficácia do seu modelo na simplificação de um processo do mundo real.

Em seguida, determine uma descrição quantitativa (ou baseada em números). Que variáveis você deve escolher para representar partes do ciclo de vida de um organismo? Que tipos de operações matemáticas podem efetivamente representar aspectos de seu sistema biológico? As próximas etapas são usar seu modelo matemático para avaliar seu sistema biológico, analisar seus resultados e examinar os resultados no contexto do sistema biológico. Veremos essas etapas no contexto de um dos modelos matemáticos mais conhecidos da biologia: o teorema de Hardy-Weinberg.

O Teorema Hardy-Weinberg

Um dos modelos matemáticos mais importantes da biologia é o teorema de Hardy-Weinberg . Nomeado em homenagem a dois cientistas do início do século 20, este teorema é um modelo matemático que mostra a relação entre os alelos presentes em uma população e como essa população provavelmente mudará com o tempo. Antes de explorar o que isso significa, vamos revisar alguns dos termos-chave que usaremos nesta parte da lição.

Lembre-se de que a maioria dos organismos vivos é diplóide; ou seja, eles têm duas cópias de cada cromossomo, uma de cada pai. Em cada cromossomo estão os genes, a unidade básica da hereditariedade. Diferentes formas de um gene são chamadas de alelos. Por exemplo, muitos estudos sugerem que a capacidade de digerir lactose (ou açúcar do leite) na idade adulta é determinada pela presença de um alelo específico. Este alelo é dominante, o que significa que é expresso, ou visto, em um indivíduo. O alelo oculto é denominado recessivo.

Se um indivíduo recebe um alelo que permite digerir a lactose de sua mãe, mas o outro alelo de seu pai, ele será capaz de digerir a lactose. Esse indivíduo é chamado de heterozigoto para essa característica porque tem um alelo dominante e um alelo recessivo. Se um indivíduo recebe ambos os alelos dominantes ou ambos os alelos recessivos, então eles são homozigotos para essa característica. Homozigoto e heterozigoto referem-se a um genótipo, ou composição genética, de um indivíduo, enquanto o traço ‘visto’ ou expresso é chamado de fenótipo.

O teorema de Hardy-Weinberg usa duas equações para prever como o número de alelos (ou frequência alélica) pode mudar em uma população (um grupo de indivíduos intercruzados) ao longo do tempo. Também prevê como as frequências genotípicas de uma população podem mudar ao longo do tempo. Como?

Primeiro, o teorema de Hardy-Weinberg visualiza que todos os alelos para uma geração de indivíduos pertencem a um único grande grupo, chamado de pool genético. Também faz cinco suposições muito importantes. Primeiro, assume que a prole sempre surge de acasalamentos aleatórios – sem penas bonitas ou feromônios para atrair um parceiro: todo acasalamento é aleatório. Em seguida, assume que a seleção natural não existe. Sob essa suposição, coelhos com pelo branco e coelhos com pelo escuro têm chances iguais de passar esses genes para a próxima geração, mesmo que ambos vivam em um ambiente com neve.

Também assume que não há adição ou subtração de alelos no pool genético. As populações não ganham ou perdem membros por indivíduos que migram para uma nova área ou se juntam a um rebanho. Hardy-Weinberg também assume que não há mutações no DNA. Em outras palavras, os alelos permanecem os mesmos de geração em geração. Finalmente, o teorema assume que não há deriva genética. Essencialmente, isso significa que cada alelo tem uma chance igual de aparecer na próxima geração. Nenhum indivíduo tem mais sorte do que outros, ou tem mais filhos, ou vive mais.

Você pode estar pensando: ‘Essas suposições simplesmente não acontecem na natureza.’ Isso é absolutamente correto. De certa forma, a teoria de Hardy-Weinberg funciona como uma hipótese nula, uma afirmação que declara: ‘nada pode afetar os alelos de uma população’. Então, quando as coisas os afetam, podemos ver exatamente como.

Usando o Teorema de Hardy-Weinberg

A equação inicial é bastante simples: ( p + q ) = 1 , onde, p é igual à frequência do alelo dominante para um traço em uma população, eq representa a frequência do alelo recessivo. Se você se lembrar de sua álgebra e elevar ao quadrado esse binômio, obterá p ^ 2 + 2 pq + q ^ 2 = 1 . p ^ 2 representa a frequência do genótipo homozigoto dominante, 2 pq representa a frequência do fenótipo heterozigoto e q ^ 2 representa a frequência do fenótipo homozigoto recessivo.

Digamos, hipoteticamente, em uma população de 1.000 coelhos, a cor da pelagem é determinada por um único alelo. O alelo dominante cria um revestimento marrom, e o alelo recessivo cria um branco (usaremos B maiúsculo para representar o alelo dominante e b minúsculo para representar o alelo recessivo, e assumir que B maiúsculo é completamente dominante em b minúsculo) .

Digamos que, nesta população, a frequência de b seja 0,6. Como você pode determinar a frequência de B? Simplesmente subtraia 0,6 de 1: q = 1 – p . A frequência do alelo B é 0,4. Podemos usar esses valores para calcular as frequências genotípicas nesta mesma população usando p ^ 2 + 2 pq + q ^ 2 = 1:

(0,6) ^ 2 + 2 (0,6) (0,4) + (0,4) ^ 2 = 1

0,16 + 0,48 + 0,36 = 1

Portanto, nessa população de coelhos, esperaríamos ver:

160 do genótipo dominante homozigoto (BB)
480 do genótipo heterozigoto (Bb)
360 do genótipo homozigoto recessivo (bb)

Agora, vamos ver como usar este modelo como hipótese nula na avaliação de um sistema biológico. Digamos que, devido às mudanças climáticas, o habitat em que essa população de coelhos vive se torne menos coberto de neve e mais solo seja visível. O que você esperaria que acontecesse com os coelhos brancos em termos de predação? Facilmente visto, facilmente detectado e, portanto, menos provável de ser capaz de transmitir o alelo de jalecos brancos para uma nova geração de coelhos.

Acabamos de introduzir uma violação importante de uma das premissas do teorema de Hardy-Weinberg: a de que não existe seleção natural. Podemos usar o teorema para prever o que acontecerá com as frequências alélicas na próxima geração. Após a predação, a população pode ficar assim:

160 genótipos homozigotos dominantes (BB)
290 genótipos heterozigotos (Bb)
70 genótipos homozigotos recessivos (bb)

Para um total de 520 indivíduos restantes (note a redução drástica dos coelhos brancos). Isso é igual às frequências genotípicas de:

0,31 genótipo homozigoto dominante (BB)
0,56 genótipo heterozigoto (Bb)
0,13 genótipo homozigoto recessivo (bb)

O que isso significa para as frequências alélicas desta geração? O número total de alelos dominantes (B) é igual ao número de indivíduos genotípicos homozigotos dominantes (BB) mais metade do número de indivíduos heterozigotos (Bb):

0,31 + (0,5 * 0,56) = 0,59

O número total de alelos recessivos (b) é igual ao número de indivíduos homozigotos recessivos (bb) mais metade do número de indivíduos heterozigotos (Bb):

0,13 + (0,5 * 0,56) = 0,41

Portanto, na nova geração, p = 0,59 eq = 0,41.

Se você comparar os valores originais com esses valores, poderá ver que a frequência alélica de B está aumentando e a frequência alélica de b está diminuindo. Tecnicamente, a ciência pede uma avaliação estatística dos resultados do modelo, mas nosso cenário é bastante simples: se você examinar os resultados do modelo no contexto do sistema biológico, faz sentido. Os coelhos brancos são subitamente mais propensos a serem vítimas de predação e, portanto, menos propensos a passar seus genes para a próxima geração.

Resumo da lição

Nesta lição, discutimos modelos científicos , quaisquer objetos ou processos usados para simplificar o mundo real. Especificamente, aprendemos sobre as etapas envolvidas na criação de um modelo científico matemático que, embora não seja definitivo, geralmente inclui o seguinte:

Faça uma pergunta
Refine a questão
Descreva o sistema biológico qualitativamente (sem matemática)
Descreva o sistema biológico quantitativamente (com números)
Avalie o sistema biológico usando o modelo
Analise os resultados do modelo
Examine os resultados no contexto do sistema biológico

Em seguida, examinamos o teorema de Hardy-Weinberg , um modelo matemático que mostra a relação entre os alelos presentes em uma população e como essa população provavelmente mudará com o tempo. O teorema de Hardy-Weinberg, como a maioria dos modelos, tem limitações. Essas limitações vêm na forma de cinco premissas, que são:

O acasalamento é sempre aleatório.
A seleção natural não existe.
Nenhum alelo jamais entra ou sai da população.
Mutações não existem.
Não há deriva genética.

Por causa dessas suposições, o teorema funciona como uma hipótese nula, pela qual as ações no mundo real são comparadas. As equações para o modelo de Hardy-Weinberg são: p + q = 1, onde p é igual à frequência do alelo dominante eq é igual à frequência do alelo recessivo.

Deste binômio, outra equação é derivada: p ^ 2 + 2 pq + q ^ 2 = 1, em que p ^ 2 representa a frequência do genótipo homozigoto dominante, 2 pq representa a frequência do fenótipo heterozigoto, e q ^ 2 representa a frequência do fenótipo homozigoto recessivo. Essas equações podem então ser usadas para prever a mudança nas frequências genotípicas e fenotípicas em uma população ao longo do tempo.

Resultados de Aprendizagem

Nesta lição, você aprendeu como:

Definir modelo científico
Identifique as etapas gerais na criação de um modelo matemático
Liste as cinco suposições do teorema de Hardy-Weinberg
Explique como usar o teorema de Hardy-Weinberg