Revisão de Derivativos
Vamos revisar algumas coisas que sabemos sobre derivados. A derivada é a inclinação da função. Se a derivada for positiva, a inclinação está aumentando. Se for negativo, a inclinação está diminuindo. Se a derivada for zero, a função não está mudando, então pode ser um mínimo ou um máximo. A segunda derivada é a inclinação da derivada. Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima ; nós temos uma ‘xícara’. Se a segunda derivada for negativa, temos algo que é côncavo para baixo , uma ‘carranca’. Se a segunda derivada for zero, a função pode estar em um ponto de inflexão se estivermos mudando de uma xícara para uma carranca. Então o que isso quer dizer?
Encontrar a posição usando a velocidade
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Lembra daquele sonho que eu tive onde meu pai colocava um GPS no meu carro? Digamos que em vez de usar alta tecnologia e colocar um GPS lá, ele colocou um acelerômetro no meu carro. Então ele não pode dizer onde estou, mas pode dizer o quão rápido estou indo. E digamos que ele possa fazer um gráfico de minha velocidade por velocidade, indo para longe de casa, como uma função do tempo. A primeira vez que ele faz isso, o gráfico se parece com isso. Minha velocidade começa em algum valor positivo e é constante por algum tempo. Então, minha velocidade salta e é zero por algum período de tempo. E então minha velocidade salta novamente e fica negativa por algum tempo. Ele pode reconstruir, aproximadamente, onde estou em um determinado momento? Ele pode representar graficamente minha posição a partir dessa velocidade?
Digamos que ele tente traçar minha posição em função do tempo sabendo que eu começo em casa, aqui na origem, no tempo = 0. Pelos primeiros 20 minutos, vou a uma velocidade constante e positiva. Portanto, sei que ele poderia traçar minha posição em função do tempo apenas desenhando algo com uma inclinação positiva constante. Aqui, você pode imaginar que estou saindo de casa a uns agradáveis 35 milhas por hora. Porque minha inclinação é constante, minha velocidade vai ser constante. Agora, 20 minutos depois, minha velocidade vai de constante, 35 milhas por hora, a zero, e pelos próximos 20 minutos minha velocidade é zero. Isso significa que minha posição não está mudando. Obviamente não vou a lugar nenhum; minha velocidade é zero. Digamos que eu esteja escalando rochas durante esse período de 20 minutos. Depois disso, minha velocidade torna-se negativa. Então, cerca de 40 minutos depois, eu decido que ‘ estou indo para casa e começo a dirigir com uma inclinação constante de volta para casa. É constante porque minha velocidade é constante. Não é tão ruim.
Compreendendo a velocidade
Digamos que ele faça isso novamente no dia seguinte. Agora eu tenho minha velocidade saindo de casa como uma função do tempo e parece que nada é constante neste gráfico. Vamos marcar os pontos interessantes. Vou marcar isso onde minha velocidade é zero, e em todos os outros lugares minha velocidade é positiva. Quando a velocidade é zero, sei que parei; se minha velocidade não está mudando, obviamente não estou dirigindo. Quando minha velocidade for positiva, vou embora de casa, porque estou dirigindo.
Então, o que podemos dizer a partir deste gráfico? No início, minha velocidade não é tão grande. Este gráfico mostra minha velocidade como algo próximo a zero – não é zero, é positivo, mas não é um número grande. Talvez eu esteja apenas tentando. Conforme eu prossigo no gráfico, minha velocidade está ficando cada vez maior, então não estou apenas me afastando de casa, estou me afastando de casa cada vez mais rápido. Neste ponto, minha velocidade é constante, então ainda estou dirigindo para longe de casa, mas estou dirigindo para longe de casa em uma velocidade constante. Digamos que estou na estrada. Então minha velocidade começa a ir para zero, então começo a desacelerar um pouco. Ainda estou me mudando de casa, mas só estou diminuindo a velocidade. Então eu paro. Talvez eu esteja fazendo compras no shopping, resgatando meu pai por todas as vezes que ele me rastreou.
Ok, quando termino no shopping, volto para o carro e começo a dirigir. Novamente minha velocidade começa pequena, perto de zero. Ainda estou me mudando de casa, mas lentamente. Então fico cada vez mais rápido e mais rápido, muito rápido agora. Então minha velocidade é muito alta. Agora, enquanto me movo no tempo, minha velocidade não muda em função do tempo; ele se achatou. Aqui, estou indo na rodovia; Estou apenas acelerando dessa vez. E eu saio da rodovia e minha velocidade volta para zero conforme eu desacelero. Quando minha velocidade chega a zero, paro. Agora estou usando o cartão de crédito dele no cinema! Então, em tudo isso, embora minha velocidade estivesse diminuindo, porque ainda era positiva, eu estava me afastando de casa. Todo esse tempo, não estive nem perto de voltar para casa.
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Velocidade e aceleração
Quando minha aceleração é positiva, minha velocidade está aumentando, certo? Aqui, quando minha velocidade está aumentando, minha aceleração será maior que zero. Quando minha velocidade continua a mesma, quando estou na rodovia sem acelerar, minha aceleração é zero. Não estou mudando as velocidades de forma alguma; a inclinação aqui é zero. Então eu começo a desacelerar. Conforme minha velocidade começa a diminuir, minha aceleração é negativa. Então estou estacionado e não tenho velocidade nem aceleração. Eu entro na rodovia e minha aceleração é positiva porque eu acelero para entrar no trânsito e, em seguida, acelero o trânsito. Quando estou acelerando na estrada, não estou acelerando nem desacelerando; minha aceleração é constante. Quando saio da rodovia, entro no estacionamento e pego no freio no cinema, minha aceleração é negativa. Quando eu’ m no cinema, minha aceleração é zero. Se eu tentar voltar e representar graficamente minha posição em função do tempo, em qualquer lugar em que minha aceleração seja positiva, tenho algo côncavo para cima – lembre-se, esta é a nossa xícara – porque minha velocidade está aumentando. Quando a aceleração é negativa (esta é minha segunda derivada da minha posição), eu tenho algo que é côncavo para baixo, uma carranca.
Distância com base na velocidade
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Vamos tentar ver minha posição em função do tempo, e vamos examiná-la apenas neste primeiro semestre. Nesse ponto, saio dos limites da cidade e estou fora do campo. Nesta primeira parte aqui, estou me afastando de casa e minha velocidade está aumentando, então tenho algo que é côncavo para cima. Quando minha velocidade é constante, mas positiva, minha distância em função do tempo vai aumentar a uma taxa constante (porque minha velocidade é positiva). Então, aqui mesmo, minha inclinação é constante e eu tenho uma linha reta. Quando saio da rodovia, minha velocidade começa a diminuir. Eu ainda estou me movendo; Estou apenas desacelerando. Nesta parte, tenho uma região côncava para baixo. Agora estou parando em minha vaga no shopping e minha velocidade não está mudando em função do tempo. Então minha distância vai ser constante em função do tempo.
Resumo da lição
Vamos revisar o que podemos aprender com a derivada de uma função. Sabemos que se f `, a derivada de uma função, for positiva, nossa função original está aumentando. Se for negativo, nossa função original está diminuindo. Isso ocorre porque f `é a inclinação da função. Se f `for zero, sua função pode estar no máximo ou no mínimo. Mas, como acabamos de ver, posso estar estacionado no shopping ou no cinema. O derivado de f ‘, f «, é o declive do derivado. Isso vai falar sobre a concavidade de sua função. Se f « for positivo, sua função é côncava e se parece com uma xícara. Se f « for negativo, fé côncavo para baixo; é uma carranca. E se f « for zero, f pode ser um ponto de inflexão. É aqui que iríamos entre algo que é côncavo para cima e côncavo para baixo. Com tudo isso, você pode obter muitas informações sobre uma função apenas observando sua derivada.