Revisão rápida
O que podemos aprender com a derivada de uma função? Bem, vamos revisar. A derivada de uma função é a inclinação dessa função – na verdade, a inclinação da tangente da função. Se a derivada for positiva, a função está aumentando. Se a derivada for negativa, a função está diminuindo. Se a derivada for zero, sua função pode estar no mínimo ou no máximo, mas de qualquer forma não está mudando.
A segunda derivada é a inclinação da primeira derivada , e a segunda derivada informa um pouco sobre a concavidade de sua função. Se a segunda derivada for positiva, você tem uma xícara (algo que é côncavo para cima ). Se a segunda derivada for negativa, você tem uma carranca (algo que é côncavo para baixo ). Se a segunda derivada for zero, então você pode estar em um ponto de inflexão se estiver indo entre uma região côncava para cima e outra côncava para baixo.
Corresponder ao gráfico
Vamos tentar colocar isso em prática. Digamos que você tenha três gráficos de derivadas diferentes, todos sem números, e eles se parecem com isso. Você tem três gráficos possíveis de f . Digamos que você tenha isso aqui. Agora vamos estabelecer como nosso objetivo combinar a derivada com sua função original, ou pelo menos uma possibilidade para sua função original.
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Gráfico # 1
Vamos dar uma olhada neste primeiro gráfico. Existem dois pontos neste gráfico que podem se destacar para você como sendo importantes. Temos y` como uma função de x . Para pequenos valores de x , y` é constante. Não só é constante, mas é igual a zero. Para grandes valores de x , y` é positivo e crescente. O que essas duas coisas significam? Bem, quando y` é constante em zero, então minha função não mudará. Quando y` está aumentando, então eu sei que minha segunda derivada será positiva e eu tenho uma região onde minha função será côncava para cima; vai parecer uma xícara.
Portanto, vamos dar uma olhada em nossas três possibilidades para nossa função e ver como elas combinam com cada um desses dois pontos que destacamos. Primeiro, vamos ver se algum deles tem um valor constante para valores menores de x , porque y` é zero para valores menores de x . Esta primeira função: Não, obviamente não é uma constante. Essa segunda função, bem, é uma constante. Não sei qual é o valor, mas é constante; não está mudando, então é uma possibilidade. A terceira função: Não; novamente, isso não é uma constante. Está aumentando, então isso também não pode funcionar. Portanto, agora parece que vamos escolher este segundo gráfico. Mas só para ter certeza, vamos dar uma olhada no segundo ponto,está aumentando para valores maiores de x . Temos algo que será côncavo para valores maiores de x .
Nosso primeiro gráfico é côncavo para valores maiores de x ; parece uma xícara aqui, então não teria problema. Nosso segundo gráfico também está aumentando; esta também é uma xícara para valores maiores de x . Nosso terceiro gráfico é constante; isso não é uma xícara. Não sei quem colocou aquele gráfico aqui. Nossa primeira possibilidade para f correspondia a uma das duas coisas de que precisávamos. Nosso segundo gráfico correspondeu a ambos, no entanto. Ele tinha um valor constante para valores menores de x , e era côncavo para valores maiores de x . Portanto, vou dizer que nosso primeiro gráfico derivado, aqui, corresponde à nossa segunda função, aqui.
Gráfico # 2
Vamos dar uma olhada em nosso segundo gráfico. Nosso segundo gráfico tem mais alguns pontos que podem ser de interesse. Primeiro, temos dois lugares neste gráfico onde y` é igual a zero, então temos dois lugares onde podemos ter um mínimo ou um máximo. Ok, isso é algo bom para se manter em mente. Em segundo lugar, para pequenos valores de x , y` está diminuindo. Isso significa que temos algo que é côncavo para baixo, porque y« , nossa segunda derivada, será menor que zero – nós temos uma carranca. Para valores maiores de x , y`(nossa derivada, este gráfico aqui) está aumentando, e como a derivada está aumentando, a segunda derivada será positiva para todos esses valores. Isso significa que nossa função original será côncava. Então, estamos procurando por algo que seja côncavo para baixo na primeira metade e côncavo para cima na segunda metade – então parece uma carranca na primeira metade e uma xícara na segunda metade – e pode possivelmente ter um máximo ou mínimo nestes dois pontos intermediários.
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Então, vamos dar uma olhada. Primeiro, vamos olhar para esses pontos onde y` é igual a zero. Em nosso primeiro gráfico, y` seria igual a zero aproximadamente nesses dois pontos. Bem, isso é um máximo e um mínimo, então, de fato, nossa tangente aqui será zero em ambos os pontos, então isso pode funcionar. O segundo – ok, bem, y` é zero neste primeiro, eu concordo com isso. A tangente aqui será zero. Mas para este segundo a tangente não é zero, então essa não funciona. Para o terceiro, a tangente não é zero no primeiro ponto, mas é zero no segundo ponto. Então o que temos é que o primeiro gráfico tem dois pontos correspondentes, o segundo gráfico tem um de dois pontos e o terceiro gráfico tem um de dois pontos.
Mas vamos dar uma olhada na concavidade desses três gráficos. Aqui, a primeira metade é côncava para baixo – é uma carranca grande, então funciona. A segunda metade é côncava – parece uma xícara; isso é exatamente o que queríamos. Este primeiro gráfico pode funcionar, mas e o segundo gráfico? Esta primeira parte do gráfico deve ser côncava para baixo; deve parecer uma carranca. Mas é constante, então isso não funciona. A segunda parte do gráfico deve ser côncava. Bem, isso realmente parece côncavo – posso ver que é uma xícara – então pode funcionar. O terceiro gráfico deve ser côncavo para baixo na primeira metade e côncavo para cima na segunda metade, e não é nenhum dos dois. Tem linhas retas – não vejo xícaras, não vejo carrancas, não vejo nada.
Então, mais uma vez, nosso primeiro gráfico combinou com a concavidade em ambas as regiões, nosso segundo gráfico combinou com a concavidade em uma região e nosso terceiro gráfico não combinou com nenhuma concavidade. Então, vamos colocar tudo isso junto – a concavidade e os pontos onde nossa derivada será igual a zero. Nosso primeiro gráfico corresponde a todos os pontos, nosso segundo gráfico corresponde a alguns pontos, mas não a tudo, e nosso terceiro gráfico é … quem o colocou aqui? Obviamente, nosso primeiro gráfico nos dará a melhor estimativa para nossa função para este gráfico derivado de segunda aqui.
Gráfico # 3
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Agora vamos dar uma olhada no último gráfico. O processo de eliminação nos diria qual gráfico é esse, mas vamos realmente resolver isso. Mais uma vez, temos duas coisas que devemos ter em mente com este primeiro gráfico derivado. Primeiro, y` será constante tanto para valores pequenos quanto para valores grandes de x . Para pequenos valores de x , porém, é um número positivo e para grandes valores de x é zero.
Ok, então vamos procurar um gráfico que tenha uma inclinação constante para pequenos valores de xe inclinação zero para grandes valores de x . Nossa primeira função está mudando em todos os lugares; a derivada nunca é constante, então vamos apenas remover isso da consideração. Nosso segundo gráfico tem uma constante para pequenos valores de x , mas para grandes valores de x ela está mudando; nossa derivada não é constante. O outro ponto é que, neste gráfico, para pequenos valores de x , nosso y é realmente constante. Não é apenas uma derivada constante, mas essa derivada é zero, então já estamos questionando se este segundo gráfico funcionaria ou não.
Existe uma opção melhor? Bem, vamos olhar para o terceiro gráfico. O terceiro gráfico é de duas linhas retas. Eu tenho inclinação constante para pequenos valores de x , e é uma inclinação positiva, então faz sentido. Para grandes valores de x , não obtive apenas uma inclinação constante, mas essa inclinação é zero, e isso também faz sentido. Obviamente, nosso terceiro gráfico da derivada aqui será nosso terceiro gráfico do lado direito, nossa terceira função. Vamos juntar tudo isso e descobriremos que é assim que você combinaria as derivadas com a função original.
Resumo da lição
Então, vamos recapitular mais uma vez. Você pode encontrar muitas informações sobre uma função apenas observando sua derivada. Existem algumas coisas que você deve ter em mente. Você deve saber que a derivada é a inclinação de uma função e deve saber o que significa quando a derivada é positiva ou negativa. Você também deve saber que a segunda derivada é a inclinação da derivada, e ela diz algo sobre a concavidade de uma função – se será ou não côncava para cima ou côncava para baixo.
Mas quando você está tentando combinar derivadas com as funções originais, ou está tentando desenhar uma função com base em sua derivada, você vai querer olhar para certas características. Quando f` é igual a zero? É constante? Quando f« é igual a zero? É constante? Uma vez que você pode apontar essas pequenas características, fica muito mais fácil estimar o que a função é baseada em sua derivada.