Método de comparação para problemas matemáticos
Compare uma história em quadrinhos com o filme sobre o mesmo super-herói. Como eles são iguais e como são diferentes? É divertido fazer esse tipo de comparação.
Em matemática, também podemos fazer comparações. Podemos usar o método de comparação , um procedimento para resolver as incógnitas em um conjunto de equações independentes:
Vamos pegar as equações 2 x + 3 y = 13 e 7 x – 4 y = 2. Como resolvemos para x e y ?
Configuramos as equações para que o lado esquerdo tenha a mesma variável desconhecida. Assim, os lados esquerdos são iguais. Então igualamos os lados direitos e resolvemos. Nesta lição, mostraremos claramente as etapas. Então podemos voltar às aventuras de nosso super-herói favorito.
A Primeira Equação
Queremos resolver para x e y dadas as duas equações 2 x + 3 y = 13 e 7 x – 4 y = 2.
Etapa 1: escreva cada equação com x como assunto. Chamaremos isso de equação do sujeito isolado , uma equação em que uma variável é isolada. De 2 x + 3 y = 13, subtraímos 3 y de ambos os lados:
- 2 x + 3 y – 3 y = 13 – 3 y
Em seguida, simplifique:
- 2 x = 13 – 3 y
Divida os dois lados por 2:
- 2 x / 2 = (13 – 3 y ) / 2
Em seguida, simplifique:
- x = (13 – 3 y ) / 2
Isolamos ox na primeira equação.
A Segunda Equação
Agora, para a segunda equação. De 7 x – 4 y = 2, adicionamos 4 y a ambos os lados:
- 7 x – 4 y + 4 y = 2 + 4 y
Em seguida, simplifique:
- 7 x = 2 + 4 y
Divida os dois lados por 7:
- 7 x / 7 = (2 + 4 y ) / 7
Simplifique e temos:
- x = (2 + 4 y ) / 7
Isolamos ox na segunda equação.
Comparar
Etapa 2: agora podemos comparar os lados esquerdo de ambas as equações de assunto isolado. Eles são iguais: ambos são iguais a x . Dado que x = (2 + 4 y ) / 7 e x também = (13 -3 y ) / 2, podemos igualar o lado direito da primeira equação do sujeito isolado ao segundo. Então agora sabemos que:
- (13 – 3 y ) / 2 = (2 + 4 y ) / 7
Etapa 3: resolvemos para a variável restante, y . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
- 2 (13-3 y ) / 2 = 2 (2 + 4 y ) / 7
Quando simplificamos, temos:
- 13 – 3 y = (4 + 8 y ) / 7
Multiplique ambos os lados por 7:
- 7 (13 – 3 y ) = 7 (4 + 8 y ) / 7
Quando simplificamos, temos:
- 91 – 21 y = 4 + 8 y
Subtraia 8 anos de ambos os lados:
- 91-21 y – 8 y = 4 + 8 y – 8 y
Simplifique e nós temos:
- 91 – 29 y = 4
Subtraia 91 de ambos os lados:
- 91 – 29 y – 91 = 4 – 91
Quando simplificamos, temos:
- -29 y = – 87
Divida ambos os lados por -29:
- -29 y / (-29) = -87 / (-29)
E quando simplificamos, ficamos com:
- y = 3
Agora que temos um valor para y , podemos encontrar o valor de x .
Etapa 4: substitua nosso valor por y em qualquer uma das equações de sujeito isolado. Vamos substituir y = 3 em x = (13 – 3 y ) / 2. Então:
- x = (13 – 3 (3)) / 2
Simplifique esta equação:
-
x = (13 – 9) / 2
x = 4/2
x = 2
Agora temos um resultado:
- x = 2 ey = 3
Passo 5: No nosso passo final, verificar o resultado substituindo nossos x e y valores em ambas as equações originais. Primeiro, vamos substituir x = 2 ey = 3 em 2 x + 3 y = 13:
- 2 (2) + 3 (3) = 13
Nós nos multiplicamos e temos:
- 4 + 9 = 13
Quando simplificamos:
- 13 = 13
Verifica! Vamos verificar nossa segunda equação. Substituímos x = 2 ey = 3 em 7 x – 4 y = 2. Temos:
- 7 (2) – 4 (3) = 2
Quando nos multiplicamos, temos:
- 14 – 12 = 2
Para simplificar ainda mais, ficamos com:
- 2 = 2
Verifica! Ambos os valores para x e y check-out, e nós estamos feito!
Outras aplicações
O método de comparação pode ser estendido a sistemas de equações com mais de duas incógnitas. Cada vez que a comparação é feita, o resultado é uma equação com uma incógnita a menos. Ao repetir o processo, eventualmente determinamos o valor de uma das incógnitas. Então, substituindo de volta em equações de sujeito isolado anteriores, o resto das variáveis desconhecidas são determinadas. Além disso, qualquer uma das variáveis pode ser usada como assunto na primeira etapa. Os resultados serão os mesmos: apenas a ordem em que as respostas aparecem será diferente.
O mesmo x diferente, história em quadrinhos x filmes e lados do lado esquerdo x lado direito. Pronto para algo mais para comparar?
Resumo da lição
O método de comparação , um procedimento para resolver sistemas de equações independentes, começa reescrevendo cada equação com a mesma variável do sujeito. Qualquer uma das variáveis pode ser escolhida como a primeira variável a isolar. Cada equação agora é uma equação de sujeito isolado e uma equação em que uma variável é isolada. Os lados direitos dessas equações de assuntos isolados são equacionados. O resultado é uma equação com menos uma incógnita.
Este procedimento pode ser continuado até que um valor seja determinado para uma das incógnitas. Uma vez que uma incógnita é determinada, ela é usada para encontrar o valor da (s) incógnita (s) restante (s) substituindo-a em equações de sujeito isolado anteriores.