The Adjugate Matrix
Digamos que estejamos renovando o chão da nossa cozinha. Os ladrilhos de terracota em forma de argila estão chamando nossa atenção. Esta cerâmica dá uma sensação agradável de calor a um espaço, e a forma de matriz é um bônus! Faz você pensar em todos os diferentes tipos de matrizes que existem. Que tal a matriz adjugada ?
Nesta lição, veremos como calcular a matriz adjugada transpondo a matriz cofator. Parece que precisaremos de algumas operações especiais para terminar nosso andar.
Construindo a Matriz de Adjugados
Por que você precisa de uma matriz adjugada? Esta matriz encontra aplicações ao inverter uma matriz porque a matriz inversa é a matriz adjugada dividida pelo determinante. Construir a matriz adjugada não é complicado e leva apenas duas etapas: encontre a matriz do cofator e depois transponha. Vamos dar uma olhada em cada uma dessas etapas, uma de cada vez.
Etapa um: Encontrando a matriz do cofator
Imagine ter uma folha de ladrilho com 16 números disposta como uma matriz 4×4, como esta:
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Começamos com o primeiro quadrado no canto superior esquerdo. Tem o número 6 nele. Este quadrado está na linha 1 e coluna 1. Agora, imagine deletar a linha 1 e a coluna 1. Poderíamos visualizar uma linha cruzando horizontalmente a linha 1 e uma linha cruzando verticalmente a coluna 1 como você pode ver acontecendo nesta matriz:
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O que nos resta? Ainda é uma matriz, mas é menor. Em nosso exemplo, essa matriz menor tem as linhas: 3 5 7, 3 5 6 e 2 6 3. Se tomarmos o determinante dessa matriz menor, ele é chamado de menor da linha 1 e coluna 1. O determinante de a matriz é um número. Em nosso exemplo, o determinante desta matriz menor é:
3 [5 (3) – 6 (6)] – 5 [3 (3) – 6 (2)] + 7 [3 (6) – 5 (2)]
= 3 (-21) – 5 (-3) + 7 (8)
= -63 + 15 + 56 = 8
Pegamos esse número 8 e o armazenamos em uma nova matriz na linha de localização 1 e coluna 1. Repetimos esse processo para cada uma das localizações na matriz original.
Vamos fazer essas etapas novamente. E se quiséssemos o menor para o local: linha 4, coluna 3? Imagine a matriz menor após excluir a linha 4 e a coluna 3, como você pode ver:
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A matriz restante tem as linhas 6 4 8, 1 3 7 e 2 3 6. O determinante é:
6 [3 (6) – 7 (3)] – 4 [1 (6) – 7 (2)] + 8 [1 (3) – 3 (2)] = -10
Armazenamos este -10 na nova matriz no local linha 4 e coluna 3. A nova matriz, até agora, se parece com esta matriz:
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Antes de preencher as entradas restantes, vamos colocar o menor para a linha 2, coluna 4. Este número é o determinante da matriz com as linhas 6 4 2, 2 3 5 e 4 2 6. Este determinante é 64. A matriz atualizada parece como isso:
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Olhando adiante, haverá uma ‘etapa de mudança de sinal’ e uma ‘etapa de transposição.’ Será mais fácil ver essas etapas com a matriz parcialmente preenchida. É como revisar uma planta baixa depois que alguns dos novos ladrilhos são instalados. Agora estamos prontos para passar para nossa segunda etapa no processo de construção de nossa matriz adjugada.
Etapa dois: mudança e transposição de sinal
A matriz cofator está muito próxima dessa nova matriz que estamos construindo. Tudo o que precisamos fazer é multiplicar cada entrada por +1 ou -1. Os mais e menos se alternam, como você pode ver:
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Multiplicar um número por +1 não muda o número. Multiplicar um número por -1 muda o sinal do número. Imagine colocar este modelo de + 1s e -1s sobre nossa nova matriz. Então nos multiplicamos. Assim, o 8 na linha de localização 1, coluna 1, é multiplicado por +1 e o sinal de 8 não muda. O 64 na linha 2, coluna 4, é multiplicado por +1, e o sinal de 64 também não muda. No entanto, o -10 na linha de localização 4, coluna 3, é multiplicado por -1, mudando -10 para +10. A nova matriz depois de multiplicar os + 1s e -1s aparece assim:
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Depois que todos os valores estão no lugar e ajustamos os sinais, a nova matriz é chamada de matriz de cofator . Última etapa para encontrar a matriz adjugada? Transpomos a matriz do cofator: os números na diagonal ficam na diagonal (em nosso exemplo, o 8 permanece no lugar) enquanto os números fora da diagonal migram da diagonal para a outra metade da matriz, como você pode ver:
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Agora, vamos finalmente dar uma olhada em nosso exemplo finalizado de nossa matriz adjugada.
Exemplo
Agora que todas as etapas foram descritas, vamos dar uma olhada no trabalho concluído. Nossa matriz A dada pela matriz aqui aparece como:
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Depois de encontrar todos os menores e ajustar os sinais, temos a matriz de cofator C, que você pode ver tem os números:
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Você identificou os 8, 64 e 10 que tínhamos antes?
Finalmente, como você pode ver, tomar a transposta de C nos dá nossa matriz adjugada, na qual temos:
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Esse é um padrão de azulejo interessante!
Resumo da lição
Vamos reservar alguns momentos para recapitular todas as coisas importantes sobre as quais passamos um tempo aprendendo nesta lição.
A matriz adjugada de uma matriz A é a transposta da matriz cofator e encontra aplicação ao inverter uma matriz porque o inverso da matriz é a matriz adjugada dividida pelo determinante. A matriz de cofator é encontrada calculando todos os menores da matriz A e ajustando seus sinais com base na linha do menor e na localização da coluna. Um determinante é um número, e um menor em uma linha específica e localização de coluna é o determinante da matriz menor obtida excluindo a linha e coluna específicas da matriz original A. Agora, você deve saber o que é uma matriz adjugada e muito mais importante, como encontrá-lo!