O que é um Locus de pontos?
Vamos fazer uma caminhada. Decidimos caminhar 5 milhas de saída e 5 milhas de volta ao nosso ponto de partida, e estamos tentando decidir onde na área de caminhada gostaríamos que fosse o ponto de retorno. Olhamos para um mapa da área e traçamos todos os pontos que estão a 5 milhas de nosso ponto de partida.
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Você percebe que uma das rotas termina em um mirante panorâmico. Esta rota será uma bela caminhada. Vamos indo.
Pode surpreendê-lo que o círculo que você criou no mapa realmente tenha algum significado matemático, e não apenas porque é um círculo. Como dissemos, este círculo é um conjunto de pontos que estão todos a 5 milhas do nosso ponto de partida. Em matemática, chamamos isso de locus de pontos.
Um locus de pontos é um conjunto de pontos que satisfazem uma certa propriedade ou condição. O círculo no mapa é o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade de que estão todos a 5 milhas do nosso ponto de partida, então eles formam um locus de pontos. Você provavelmente não percebeu que estava criando um conjunto matemático de pontos quando mapeamos nossa rota.
Locus de pontos e equações
Um locus de pontos geralmente resulta em uma curva ou superfície. Por exemplo, em nosso exemplo de caminhada, a localização dos pontos a 5 milhas do nosso ponto de partida resultou em uma curva que é um círculo. Agora, como geralmente representamos as curvas algebricamente? Se você está pensando que usamos uma equação, você está exatamente certo.
Acontece que as soluções para uma equação são um exemplo de locus de pontos, porque essas soluções são um conjunto de pontos que satisfazem a propriedade de tornarem a equação verdadeira. Por exemplo, se deixarmos que nosso ponto de partida seja a origem em um sistema de coordenadas, o conjunto de todos os pontos que estão a 5 milhas daquele ponto formará o círculo representado pela equação x 2 + y 2 = 25.
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Portanto, nosso locus de pontos pode ser descrito como o conjunto de pontos que estão a 5 milhas de nosso ponto de partida, ou como o conjunto de pontos que satisfazem a equação x 2 + y 2 = 25, se deixarmos nosso ponto de partida ser o ponto (0,0).
Mais exemplos de locus de pontos
Como um locus de pontos é simplesmente um conjunto de pontos que satisfazem algumas condições ou propriedades, existem muitos exemplos diferentes desse conceito matemático. Vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos para que possamos realmente solidificar nossa compreensão do conceito.
Você pode estar familiarizado com uma elipse. Uma elipse é uma forma bidimensional que se parece com um círculo que foi esticado um pouco horizontal ou verticalmente. No entanto, o que você pode não saber é que podemos definir uma elipse formalmente como um conjunto de pontos, de forma que a soma das distâncias de dois pontos, chamados de focos, seja a mesma para cada ponto do conjunto.
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Acabamos de definir uma elipse como um conjunto de pontos que satisfazem uma certa propriedade, então isso está soando alguma coisa? Ah! Sim, uma elipse é um lugar geométrico de pontos que satisfaz a propriedade de que a soma das distâncias do ponto a cada um dos focos da elipse seja constante. Muito legal, hein?
Ok, vamos considerar outro exemplo. Suponha que, durante nossa caminhada, estejamos viajando de uma maneira que percorremos 3 milhas a cada hora. Agora, considere o locus dos pontos, ( x , y ), onde x é o número de horas que viajamos e y é a distância total que cobrimos. Como nossa distância aumenta em 3 milhas a cada hora percorrida, alguns pontos que estariam neste locus seriam:
(0,0)
(1,3)
(2,6)
Alguma idéia de como representar esse locus de pontos usando uma equação?
Hmmm, se y é a distância percorrida, x é o número de horas que caminhamos e estamos cobrindo 3 milhas por hora, então faz sentido que possamos modelar nossa distância total percorrida usando a equação y = 3 x . Visto que nosso locus de pontos satisfaz exatamente essa propriedade, esta é a nossa equação que representa o locus de pontos.
Também poderíamos encontrar essa equação procurando um padrão nos pontos (0,0), (1,3) e (2,6) que dissemos estar neste locus. Observe que cada coordenada y nesses pontos é 3 vezes a coordenada x nos pontos. Isso nos diz que y = 3 x , e vemos mais uma vez, temos a equação que podemos usar para representar nosso locus de pontos.
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Isso nos diz que estamos caminhando a uma taxa constante, e qualquer ponto neste locus nos informa a distância percorrida com base em quanto tempo caminhamos. Uau, quem poderia imaginar que um locus de pontos poderia nos dizer tanto?
Resumo da lição
Vamos revisar brevemente o que aprendemos. Em matemática, um locus de pontos é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada condição ou propriedade. Alguns exemplos de loci de pontos são o conjunto de todos os pontos à mesma distância de um ponto; o conjunto de todos os pontos que satisfazem uma dada equação; ou o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de dois pontos dados.
Por causa da definição de um locus de pontos, existem muitas maneiras diferentes pelas quais esse conceito matemático pode aparecer no mundo ao nosso redor. Agora que estamos familiarizados com o conceito, podemos observar as coisas em nossa vida diária de uma maneira diferente da que fazíamos antes, e isso é apenas parte da beleza da matemática.