Linhas perpendiculares
Vemos linhas perpendiculares todos os dias. Eles estão presentes em algo tão simples como certas letras do alfabeto (especificamente, E, F, H, L e T) ou nas ruas que encontramos em nossas viagens diárias. Como a rosa dos ventos demonstra, as direções norte e sul são perpendiculares às direções leste e oeste. Como muitas ruas da cidade são dispostas nessas quatro direções, você descobrirá que muitas são perpendiculares umas às outras.
Propriedades das linhas perpendiculares
As linhas são perpendiculares se se cruzarem para formar a forma da letra ‘T’.
No entanto, é possível que duas linhas pareçam um ‘T’ e não sejam perpendiculares. Portanto, não é suficiente dizer que duas linhas são perpendiculares porque se parecem com um ‘T’. Muitas propriedades e aplicações úteis vêm do fato de que duas linhas são perpendiculares. Se as linhas não forem perpendiculares, essas propriedades não estarão lá.
Em trigonometria, por exemplo, as linhas perpendiculares e propriedades dos triângulos podem ser usadas para calcular a altura e as distâncias. Se os objetos usados no cálculo não forem perpendiculares, os cálculos estarão incorretos. Tem que haver uma maneira de saber com certeza se duas linhas são realmente perpendiculares.
Para ter certeza de que duas linhas são linhas perpendiculares , o ângulo onde as duas linhas se encontram deve ser exatamente 90 graus. Um ângulo reto é outro nome para um ângulo de 90 graus, um ângulo em que as duas linhas terão a forma da letra ‘L’. Em um diagrama com ângulos, as linhas perpendiculares são normalmente indicadas com um pequeno quadrado no canto do ângulo de 90 graus, conforme mostrado aqui.
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Se você vir esta notação, está dizendo que o ângulo deve ser de 90 graus.
Se duas linhas forem apresentadas a você e não tiver certeza se elas são perpendiculares, você pode medir o ângulo entre as duas linhas com um transferidor , um instrumento usado para medir ângulos entre linhas. Se a medida do ângulo entre as linhas for 90 °, as linhas são perpendiculares.
Determinando Linhas Perpendiculares Usando Álgebra
Outro método para determinar se duas linhas são perpendiculares é usar as inclinações das duas linhas. Se você multiplicar suas inclinações e for igual a -1, as linhas devem ser perpendiculares. Se a equação de uma reta estiver na forma de inclinação-interceptação , você pode olhar para a equação e saber sua inclinação sem fazer nenhum cálculo. A forma de declive-interceptação de uma equação é semelhante a y = mx + b .
A variável m representa um número que fornece o valor da inclinação. Por exemplo, na equação y = 2 x + 3, o número 2 é a inclinação da reta.
Para verificar se duas retas na forma de declive-interceptação são perpendiculares, multiplique suas declives. Se o produto for -1, isso mostra que as linhas são perpendiculares.
Se usarmos essa técnica nas linhas representadas no gráfico a seguir, y = 2/3 x + 3 ey = -3/2 x – 1, primeiro reconheceríamos as inclinações como 2/3 e -3/2.
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Em seguida, multiplicaríamos 2/3 por -3/2:
2/3 * (-3/2) =
A resposta seria -1.
2/3 * (-3/2) = -1
A resposta -1 nos permite saber que as linhas são perpendiculares.
Mais exemplos
Usando outro exemplo, verificaremos se as retas y = -5 x – 1 ey = -2/5 x + 2 são perpendiculares.
As inclinações são -5 e -2/5, e o produto de suas inclinações é -5 * (-2/5) = 2. Como o produto das inclinações não é -1, as linhas não são perpendiculares!
Suponha que você receba as duas retas 4 x + 3 y = 5 e 3 x – 4 y = 1 e seja solicitado a determinar se as retas são perpendiculares. Para fazer isso, você deve primeiro colocar ambas as equações na forma de declive-interceptação.
Para colocar a equação 4 x + 3 y = 5 na forma de declive-interceptação, as etapas são as seguintes:
- Isole o termo y em um lado do sinal de igual: 3 y = -4 x + 5.
- Divida cada termo por 3 (o coeficiente de y ): (3/3) y = (-4/3) x + 5/3.
- Simplifique suas frações: y = (-4/3) x + 5/3. Agora você pode ver que a inclinação é -4/3.
Para colocar a equação 3 x – 4 y = 1 na forma de declive-interceptação, as etapas são as seguintes:
- Isole o termo y em um lado do sinal de igual.
- Divida cada termo por -4 (o coeficiente de y ).
- Simplifique suas frações. Agora você pode ver que a inclinação é 3/4.
Para testar se as linhas são perpendiculares, multiplique as inclinações; as linhas são perpendiculares!
Recíproca Negativa de Inclinações
Você deve ter notado algo sobre as inclinações das linhas perpendiculares. Se pegássemos uma das inclinações, invertêssemos sua fração e mudássemos o sinal do número, teríamos a inclinação da outra reta.
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Por exemplo, descobrimos que as retas y = 3/4 x – 1/4 ey = -4/3 x + 5/3 eram perpendiculares. Se pegarmos a inclinação 3/4 da primeira equação e invertê-la, obteremos a fração 4/3. Se mudássemos o sinal dessa fração, teríamos -4/3, que, é claro, é a inclinação da segunda equação!
Isto não é uma coincidência. Se você conhece uma inclinação, esta relação permite calcular uma inclinação perpendicular. Simplesmente inverta a fração da inclinação que você conhece e mude o sinal do novo número. Quando as inclinações têm essa relação especial, uma é chamada de recíproca negativa da outra, um número que, quando multiplicado por outro, é igual a -1. Podemos dizer, por exemplo, que 3/4 é o recíproco negativo de -4/3. O produto de um número e seu recíproco negativo sempre será igual a -1.
Resumo da lição
Seja na vida cotidiana ou ao trabalhar com matemática, as linhas perpendiculares são comumente encontradas. Eles têm propriedades específicas que os tornam úteis para muitos aplicativos. Você pode determinar se duas linhas são perpendiculares de várias maneiras:
- Você pode receber essas informações com uma notação especial no ângulo reto.
- Você pode medir o ângulo com um transferidor para ver se a medida é de 90 graus.
- Você pode verificar o produto das inclinações das equações das linhas. Deve ser igual a -1.
- As inclinações das linhas perpendiculares são recíprocas negativas entre si.
Além disso, aqui estão alguns termos importantes que você deve saber sobre linhas perpendiculares:
- Linhas perpendiculares : as linhas perpendiculares são duas linhas que se cruzam em um ângulo de 90 graus.
- Ângulo reto : um ângulo reto é um ângulo que tem exatamente 90 graus.
- Transferidor : um transferidor é um dispositivo usado para medir ângulos entre linhas.
- Forma inclinação-interceptação : a forma inclinação-interceptação é a equação, ‘y = mx + b’, em que ‘m’ é a inclinação e ‘b’ é o ponto onde a linha cruza o eixo Y.
- Recíproco negativo : Um recíproco negativo é um número que, quando multiplicado por outro, é igual a -1.
Resultado da lição
Depois de ver esta lição, você deve ter as habilidades para determinar se duas linhas são perpendiculares.