O que é uma linha tangente?
Digamos que estamos em uma montanha-russa … no espaço! Somos mantidos no trilho pelas rodas do carrinho, mas se o carrinho se desconectasse repentinamente, sairíamos dos trilhos em linha reta por causa da falta de gravidade. Claro, seria bom ser resgatado do espaço, então que linha os resgatadores seguiriam para nos encontrar? Acontece que eles encontrariam nosso carrinho ao longo de uma linha muito especial chamada de linha tangente, como a que você está olhando agora:
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Uma linha tangente é uma linha reta que mal toca uma curva em um ponto. A ideia é que a linha tangente e a curva estão ambas indo na mesma direção no ponto de contato. Se tivermos uma curva muito ondulada, a linha tangente e a curva não parecem ter muito em comum porque a linha tangente é perfeitamente reta. No entanto, à medida que aumentamos o zoom cada vez mais perto do ponto onde a linha tangente toca a curva, podemos ver que eles têm mais em comum do que pensávamos e parecem muito semelhantes!
Definição Matemática
Agora que temos uma ideia conceitual do que é uma linha tangente, precisamos entender como defini-la matematicamente. Existem dois elementos importantes para encontrar uma equação que define uma reta tangente: sua inclinação e seu ponto de contato com uma curva. A inclinação de uma linha é sua inclinação, ou taxa de mudança tanto horizontal quanto verticalmente, conforme ela se afasta da origem.
Para encontrar a inclinação de uma linha tangente, olhamos primeiro para a linha secante de uma equação , ou uma linha que conecta dois pontos em uma curva. Para encontrar a equação de uma linha, precisamos da inclinação dessa linha. Com uma linha tangente, isso pode ser complicado, mas com uma linha secante, porque temos dois pontos, não tem problema!
A inclinação desta linha secante, que passa pelos pontos ( a , f ( a )) e ( a + h , f ( a + h )) mostrada na fórmula abaixo. Você pode reconhecer esta fórmula do pré-cálculo; é chamado de quociente de diferença:
- inclinação da linha secante = [f ( x + h ) – f ( x )] / h
Então, como isso nos ajuda com a linha tangente? Bem, imagine que pegamos aquele segundo ponto ( a + h , f ( a + h )) e o trouxemos para mais perto de nosso primeiro ponto. Quanto mais se aproxima do primeiro ponto, mais a linha secante começa a se parecer com a linha tangente! Nós o aproximamos cada vez mais e mais perto … que é a ideia matemática de um limite. À medida que h se aproxima de zero, isso transforma nossa linha secante em nossa linha tangente, e agora temos uma fórmula para a inclinação de nossa linha tangente! É o limite do quociente de diferença quando h se aproxima de zero.
Supondo que você esteja familiarizado com os fundamentos do cálculo, você reconhecerá isso como a definição da derivada de nossa função f ( x ) em x = a , denotada em notação primária como f ‘( a ). A derivada de uma função é a taxa instantânea de mudança da função e a inclinação da reta tangente à curva.
Equação da Linha Tangente
Agora que temos a inclinação da linha tangente, tudo o que precisaríamos é um ponto na linha tangente para completar a equação de nossa linha. Isso é fácil, porque sabemos que nossa linha tangente passou pelo ponto ( a , f ( a )). Vamos agora construir a equação de nossa linha usando a forma de inclinação de ponto de uma linha:
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y – y 1 = m ( x – x 1), onde ( x 1, y 1) é um ponto conhecido na linha e m é a inclinação da linha
As equações são válidas para quase todos os pontos de uma curva y = f ( x ):
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y – f ( a ) = f ‘( a ) ( x – a )
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y = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )
Existem algumas exceções:
- No caso especial em que uma reta tangente é vertical, sua inclinação seria indefinida e não poderíamos usar a equação anterior. Nesse caso, usaríamos a equação de uma linha vertical que passa pelo ponto ( a , f ( a )), que seria simplesmente a equação x = a .
- Se a função for descontínua onde x = a (como em quaisquer buracos, quebras ou saltos no gráfico), a função não tem uma linha tangente naquele ponto, ou finalmente
- Se a função tiver um canto agudo ou aresta em x = a , a função não terá uma linha tangente a ela naquele ponto. As linhas tangentes só existem onde a curva da função é suave.
Exemplo
Vamos encontrar a equação da linha tangente à curva da função f ( x ) = x ^ 2 quando x = 1. Já nos foi dado o valor x do ponto ( x = 1), mas para determinar o correspondente valor y , vamos inserir x = 1: f (1) = (1) ^ 2 = 1. Portanto, sabemos que o ponto é (1,1).
A seguir, vamos encontrar a inclinação da reta, que seria a derivada em x = 1:
- f ‘( x ) = 2x e f’ (1) = 2
Portanto, a equação da nossa linha torna-se:
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y = f (1) + f ‘(1) ( x – 1), que simplifica para
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y = 1 + 2 ( x – 1), que simplifica ainda mais para
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y = 2 x – 1
O gráfico de y = x ^ 2 ey = 2 x – 1 confirma visualmente que calculamos a reta tangente corretamente e pronto!
Resumo da lição
Vamos examinar alguns minutos para revisar o que é uma linha tangente e qual é sua equação. Uma linha tangente é uma linha reta que mal toca uma curva em um ponto. A ideia é que a linha tangente e a curva estão indo exatamente na mesma direção no ponto de contato. A inclinação , ou inclinação, da linha tangente é determinada pela taxa instantânea de mudança da função naquele ponto. A inclinação da linha é encontrada criando uma função derivada com base na abordagem de uma linha secante à linha tangente. Uma linha secante é uma linha que conecta dois pontos em uma curva.
Para curvas suaves e contínuas com inclinações não verticais, podemos calcular a linha tangente usando a fórmula:
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y = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )
Se a curva tem uma linha tangente vertical, a equação se reduz a x = a , e se a curva tem uma quebra ou um canto agudo, então a curva não tem linha tangente naquele ponto.