Limite em cálculo
Um limite no cálculo é a altura provável de uma função , ou a relação entre entrada e saída, em um valor conhecido de x . Expressamos o limite de uma função como f (x) e o definimos como o valor y projetado de f (x) conforme os valores de x se aproximam cada vez mais de qualquer número real c . Lembre-se de que a função não precisa realmente atingir a altura ou limite projetado. Ao avaliar limites complexos em cálculo, às vezes usamos o valor absoluto , ou quão longe um número em uma reta numérica está localizado de zero, independentemente de sua direção.
Como funcionam os limites
Vamos começar com um problema fácil, que lhe dará a chance de ver como os limites funcionam em geral. Considere a função f (x) = | x + 1 | – 2, conforme mostrado neste gráfico.
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Qual é o limite de f quando x se aproxima de 0?
Observe que quando x está próximo do valor 0, o gráfico parece ter valores de y mais próximos de -1. Com base no gráfico, podemos assumir que o limite é igual a -1. Para encontrar o valor limite preciso, inserimos x = 0 na função, conforme mostrado aqui.
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Nesta função, o limite de f quando x se aproxima de qualquer número real, c , pode ser encontrado inserindo x = c porque f é contínuo, sem quebras ou sem buracos. Então, podemos sempre usar o plug-in para obter o limite? Se isso fosse verdade, esta seria uma lição muito curta! Vamos explorar quais problemas podem surgir ao calcular limites com valor absoluto.
Funções sem limite
Este gráfico mostra a função f (x) = | x | / x . Qual é o limite quando x se aproxima de 0?
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Desta vez, conectar x = 0 resulta em um absurdo. | 0 | / 0 = 0/0 é o que chamamos de forma indeterminada . Como as regras de cálculo de limites não nos permitem dividir por zero, vamos voltar ao gráfico para mais informações.
O gráfico se comporta de maneira diferente nos lados esquerdo e direito de x = 0. Começando da esquerda, o gráfico mantém uma altura constante de y = -1. Quando x passa por 0, ele repentinamente salta para uma altura de y = 1, um fenômeno conhecido como descontinuidade de salto .
De acordo com o gráfico, o limite quando x se aproxima de 0 não existe. À medida que x se aproxima de 0, não vemos a função indo em direção a um valor y . Neste caso, escrevemos assim:
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As letras DNE representam não existem. Esta é uma maneira bastante padrão de indicar um limite inexistente.
Limites Unilaterais
Alguns problemas de limite pedem apenas o valor limite quando x se aproxima do lado esquerdo ou direito. Por exemplo, se perguntássemos apenas sobre o limite de | x | / x conforme x se aproxima de 0 a partir da esquerda, a resposta seria -1. Da mesma forma, o limite de | x | / x conforme x se aproxima de 0 da direita é igual a 1. Embora possamos ver os valores neste gráfico, o que acontece se você não tiver um gráfico? Felizmente, podemos usar a álgebra para calcular esses limites.
Função por partes
Às vezes, funções de valor absoluto, f (x) = | x |, parecem duas linhas diferentes coladas em um canto agudo. Podemos abordar uma função de valor absoluto como uma função por partes , na qual um pedaço de y = -x é unido a um pedaço de y = x .
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Sempre que vemos | x | em uma expressão matemática, podemos substituí-la por -x ou x , dependendo se x é suposto ser negativo ou positivo em um determinado problema de limite.
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Se o que está dentro dos valores absolutos for positivo, remova as barras de valor absoluto; caso contrário, coloque um sinal negativo antes da expressão, conforme mostrado aqui:
- | g (x) |
- Substituir | g (x) | com – g (x) se g (x) <0
- Ou escreva g (x) se g (x) > 0
Exemplos
Vamos trabalhar os dois exemplos a seguir juntos. Se você ainda não viu alguns limites unilaterais, a notação pode parecer um pouco estranha no início.
Vamos começar avaliando esta equação:
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Como o limite é unilateral e estamos nos aproximando de 0 pela esquerda, podemos assumir que x <0. Isso significa que devemos substituir | x | por – x e proceda como faríamos para qualquer outro problema de limite.
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Agora vamos avaliar esta equação:
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Esse limite unilateral vem da direita, o que significa que x > 2. Quando x > -2, a expressão | x + 2 | funciona para ser positivo. Isso significa que devemos substituir | x + 2 | com x + 2, ao contrário de – ( x + 2) se o limite tiver vindo da esquerda.
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Resumo da lição
No cálculo, definimos o limite como a altura esperada de uma função em um valor designado de x . Expressamos o limite de uma função como f (x) . F em qualquer número real c é igual ao valor y projetado de f (x) conforme os valores de x se aproximam de c . Ao calcular limites complexos em cálculo, podemos usar o valor absoluto , ou a distância entre um número e zero, independentemente de sua direção.
Ao avaliar limites de qualquer tipo, primeiro tente inserir o valor x . Se o resultado envolver divisão por zero, reescreva a expressão de valor absoluto como uma função por partes , em que um pedaço de y = -x é conectado a um pedaço de y = x . Às vezes, você só terá que encontrar o limite de uma função conforme x se aproxima do lado esquerdo ou do lado direito. Outras funções podem mudar repentinamente de valores, o que chamamos de descontinuidade de salto .