O que é inversamente proporcional?
Em matemática, as quantidades podem mudar quando você muda outra quantidade. Quando duas grandezas ou variáveis estão conectadas, dizemos que existe uma relação entre as duas. As variáveis podem ter uma de três relações ou variações: direta, inversa e conjunta .
Nesta lição, nos concentramos em compreender a definição de variação inversa : se uma quantidade aumenta como resultado da diminuição de outra quantidade ou vice-versa, as duas quantidades são inversamente proporcionais . Podemos escrever a definição matemática de inversamente proporcional, como visto na figura 1.
 |
Digamos que temos n = 1, então a definição pode ser simplificada e escrita como: y = k / x, onde ‘y’ é inversamente proporcional a ‘x’.
Se x for elevado à segunda potência, então dizemos que y é inversamente proporcional ao quadrado de x ou cubo de x se elevado à terceira potência, e assim por diante. O valor de n também pode ser uma fração, como ½ potência. Quando você tem um expoente como 1/2, ele também é conhecido como raiz quadrada. Nesse caso, diríamos que y é inversamente proporcional à raiz quadrada de x e o escreveríamos da seguinte maneira:
 |
Vamos obter uma melhor compreensão do que significa inversamente proporcional, plotando o valor de x e y para diferentes valores de n :
 |
Dê uma olhada no gráfico quando y é inversamente proporcional ax com uma constante k de 50. Observe que à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. 50 é dividido pelo valor crescente de x , resultando em valores cada vez menores de y . Isso acontece porque x está no denominador. Freqüentemente, você terminará com uma relação inversamente proporcional se a variável independente estiver no denominador.
Vejamos o que acontece se você tiver x elevado à segunda potência no denominador, em vez da primeira potência. Observe que, inicialmente, conforme o valor de x aumenta, o valor de y diminui muito rapidamente, mas então o declínio é mais lento em comparação com o início do gráfico. Porém, a tendência ainda é a mesma de antes: conforme o valor de x aumenta, o valor de y diminui.
 |
Se você traçasse y como uma função de 50 dividido pela raiz quadrada de x , mesmo assim, essa tendência permanecerá a mesma. Um aumento no valor de x resultará na diminuição do valor de y , ou vice-versa. Basicamente, quando uma variável vai em uma direção, a outra variável geralmente vai na direção oposta. Por isso, esse tipo de relação é denominado inversamente proporcional.
Agora que entendemos melhor esse relacionamento, vamos ver como podemos aplicá-lo para resolver problemas.
Exemplo: um problema de fabricação
Vejamos um exemplo de como isso funcionaria no mundo real.
Exemplo:
Chloe criou um novo design para uma pulseira e agora está interessada em produzir a pulseira em grandes quantidades para poder vendê-la em sua loja online. Seus cálculos iniciais sugerem que o custo de produção de uma pulseira varia inversamente ao quadrado do número de pulseiras feitas. Se Chloe fizer 100 pulseiras, custará $ 2 por bracelete. Qual seria o preço unitário das pulseiras se Chloe decidisse fabricar 500 pulseiras?
Para encontrar a solução, devemos primeiro escrever a equação que descreve a relação entre as quantidades de pulseiras e o preço unitário da pulseira.
 |
onde k é uma constante que podemos resolver, pois sabemos o preço unitário da pulseira quando 100 quantidades são produzidas.
Para descobrir o que é k , primeiro multiplicamos cada lado por Quantidade ^ 2, que nos dá:
k = Preço x Quantidade ^ 2
Podemos então conectar os números que temos e obter:
$ 2 x 100 ^ 2 = 20.000
Agora que sabemos o valor de k , podemos calcular o preço unitário se produzíssemos 500 quantidades. Devemos voltar à nossa fórmula original de Preço = k / Quantidade ^ 2 e inserir nossos números. Isso nos dá:
Preço = 20.000 / 500 ^ 2
= $ 0,08
Agora sabemos que custaria oito centavos por bracelete se Chloe decidisse produzir 500 braceletes.
Resumo da lição
Nesta lição, você aprendeu o que significa quando duas variáveis são inversamente relacionadas ou proporcionais. Você aprendeu que duas variáveis são inversamente proporcionais se uma variável aumenta como resultado de uma diminuição em outra. Você também aprendeu o que acontece com a variável dependente ( y ) se alterar a variável independente ( x ) em relações inversas: a variável y diminui à medida que a variável x aumenta e aumenta à medida que a variável x diminui. Também elaboramos um exemplo no qual resolvemos várias quantidades quando a proporcionalidade inversa é aplicada. Agora você está pronto para tentar alguns problemas sozinho neste tópico.
Resultados de Aprendizagem
Quando esta lição terminar, os alunos devem ser capazes de:
- Definir variação inversa e inversamente proporcional
- Escreva a definição matemática para variáveis inversamente proporcionais
- Plot x e y variáveis inversamente proporcionais em um gráfico
- Resolva problemas de palavras envolvendo proporcionalidade inversa