Definições
Álgebra linear é o ramo da matemática que lida com matrizes, vetores e espaços vetoriais e sistemas de equações lineares.
Um vetor é qualquer quantidade representada por uma quantidade e uma direção, como velocidade ou força, como uma seta de determinado comprimento apontando para uma determinada direção. Um vetor pode ser representado por um par ordenado, triplo ou mais, como (3, 2, -1). Isso representaria uma seta apontando de (0, 0, 0) a (3, 2, -1). Podemos encontrar o comprimento e a direção usando o triplo ordenado (3, 2, -1).
Uma matriz (o plural é matrizes ) é como uma tabela ou array em que os números são organizados em linhas e colunas. Podemos pensar nas linhas da matriz como vetores, e também podemos pensar nas colunas de uma matriz como vetores.
Um sistema de equações lineares provavelmente é familiar para você, pelo menos até certo ponto. Consiste em mais de 1 equação em que nenhuma das variáveis é elevada a qualquer potência diferente de 1, e qualquer solução do sistema terá que tornar todas as equações verdadeiras. Aqui está um exemplo simples:
3 x + 2 y = 5
2 x + 5 y = 3
Se organizarmos as equações de forma que as variáveis fiquem na mesma ordem, podemos olhar para os coeficientes (os números que são multiplicados pelas variáveis) e as constantes (os números que não são multiplicados por nada) como uma matriz, como esta :
| 3 | 2 | 5 |
| 2 | 5 | 3 |
Tudo se encaixa!
Formulários
Uma das coisas que podemos fazer com um vetor é encontrar seu comprimento se conhecermos suas coordenadas. Por exemplo, suponha que temos um vetor representado por (2,3):
 |
Podemos encontrar o comprimento deste vector usando o teorema de Pitágoras: Se C é o comprimento do hypoteneuse (o lado mais longo) de um triângulo rectângulo e um e b são os comprimentos dos outros lados, seguida c ^ 2 = um ^ 2 + b ^ 2. Na verdade, o comprimento de ‘A’ é a raiz quadrada de 2 ^ 2 + 3 ^ 2, que é a raiz quadrada de 13. Podemos estender isso em 3 dimensões ou mais: para encontrar o comprimento de um vetor em qualquer número de dimensões, elevamos ao quadrado cada coordenada, somamos todos os quadrados e obtemos a raiz quadrada dessa soma. Vamos ver escrito:
 |
O comprimento de um vetor pode representar a velocidade de um objeto em movimento ou o tamanho de uma força, ou muitas outras coisas além da simples distância.
Agora, vamos examinar outro sistema de equações, junto com sua matriz aumentada , uma matriz de todos os números do sistema. Suponha que eu precise criar uma mistura para comida de cachorro com 8 gramas de carboidratos, 7 gramas de proteína e 11 gramas de gordura. Eu tenho 3 ingredientes crus: x tem 1 grama de carboidrato, 2 gramas de proteína e 3 gramas de gordura por onça; y tem 2 gramas de carboidratos, 1 grama de proteína e 1 grama de gordura por onça; z tem 1 grama de carboidrato, 1 grama de proteína e 2 gramas de gordura por onça. Podemos escrever isso como um sistema de equações como este:
x + 2 y + z = 8
2 x + y + z = 7
3 x + y + 2 z = 11
| 1 | 2 | 1 | 8 |
| 2 | 1 | 1 | 7 |
| 3 | 1 | 2 | 11 |
Podemos resolver o sistema de equações realizando operações elementares de linha na matriz. Existem 3 tipos de operações de linha elementares:
– Multiplique uma linha por um número que não seja 0.
– Troque as posições de 2 linhas.
– Adicione um múltiplo de 1 linha a outra.
Vamos usar esta matriz para resolver:
| 1 | 2 | 1 | 8 |
| 2 | 1 | 1 | 7 |
| 3 | 1 | 2 | 11 |
Já temos um 1 na posição x , então vamos deixá-lo e tentar obter zeros nessa posição para os outros. Podemos subtrair o dobro da primeira linha da segunda linha:
| 1 | 2 | 1 | 8 |
| 0 | -3 | -1 | -9 |
| 3 | 1 | 2 | 11 |
Agora podemos subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
| 1 | 2 | 1 | 8 |
| 0 | -3 | -1 | -9 |
| 0 | -5 | -1 | -13 |
Podemos obter um 1 na posição y na segunda linha, dividindo por -3 em toda a extensão:
| 1 | 2 | 1 | 8 |
| 0 | 1 | 1/3 | 3 |
| 0 | -5 | -1 | -13 |
Agora podemos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira:
| 1 | 0 | 1/3 | 2 |
| 0 | 1 | 1/3 | 3 |
| 0 | -5 | -1 | -13 |
Também podemos adicionar 5 vezes a segunda linha à terceira linha.
| 1 | 0 | 1/3 | 2 |
| 0 | 1 | 1/3 | 3 |
| 0 | 0 | 2/3 | 2 |
Agora podemos dividir toda a terceira linha por 2/3.
| 1 | 0 | 1/3 | 2 |
| 0 | 1 | 1/3 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | 3 |
Estamos chegando a algum lugar: na verdade, já sabemos que z = 3. Poderíamos terminar isso substituindo de volta, mas vamos continuar com as operações de linha elementares. Posso subtrair 1/3 da linha 3 da linha 1 para obter zeros na coluna z .
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1/3 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | 3 |
Agora sabemos que x = 1. Finalmente, posso subtrair 1/3 da linha 3 da linha 2:
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 3 |
Aha! x = 1, y = 2, z = 3. Queremos usar 1 onça de x 2 onças de y e 3 onças de z em cada porção.
Resumo da lição
À medida que você continua a estudar álgebra linear , descobrirá muito mais que pode ser feito com vetores e matrizes. Nesta lição, definimos álgebra linear, um vetor , uma matriz e operações elementares de linha em uma matriz, e vimos alguns aplicativos.
Visão geral da álgebra linear
| Termos | Definições |
|---|---|
| Álgebra Linear | ramo da matemática envolvendo matrizes, vetores e espaços vetoriais, e sistemas de equações lineares |
| Vetor | qualquer quantidade que é representada por um valor e uma direção |
| Matriz | uma tabela ou matriz na qual os números são organizados em linhas e colunas |
| Sistema de equações lineares | consiste em mais de 1 equação em que nenhuma das variáveis é elevada a qualquer potência diferente de 1, e qualquer solução do sistema terá que tornar todas as equações verdadeiras |
| Coeficientes | os números que são multiplicados pelas variáveis |
| Constantes | os números que não são multiplicados por nada |
| Matriz Aumentada | uma matriz de todos os números do sistema |
| Operações elementares de linha | 3 tipos: multiplique uma linha por um número que não seja 0, troque as posições de 2 linhas, adicione um múltiplo de 1 linha a outro |
Resultados de Aprendizagem
Quando esta lição terminar, você será capaz de:
- Descrever álgebra linear
- Identifique as partes de uma equação
- Explique o que são vetores e matrizes
- Entenda como resolver uma equação de álgebra linear