Teorema Fundamental
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O teorema fundamental do cálculo diz que a integral de a a b de f (x) dx é igual à antiderivada de f (x) avaliada em b menos a antiderivada de f (x) avaliada em a , ou F (b) – F ( a) . Aqui, estou chamando F (x) de uma antiderivada de f (x) . Portanto, dF / dx = f (x) ; essa é a antiderivada.
Digamos que f (x) = 1, e você está tentando encontrar uma antiderivada de f (x) . Isso significa que você está tentando encontrar uma função para a qual, se diferenciar, obterá 1. Vamos tentar a função x . Se eu tirar a derivada de x em relação ax , eu obtenho 1. Então, x é uma antiderivada de 1. Mas digamos que eu tire F (x) = x + 3. Se eu tirar a derivada de x + 3, eu ainda receba 1, então x + 3 também é outra antiderivada de 1. É a mesma coisa se eu pegar F (x) = x – 47 / pi . A derivada de x– 47 / pi ainda é apenas 1. Na verdade, eu poderia tomar qualquer função que se pareça com F (x) = x + C ( C sendo uma constante), porque a derivada de x + C é a derivada de x mais a derivada de C . Isso é igual a 1 + 0, ou 1. Como isso pode ser verdade?
Antiderivados
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Vejamos um exemplo. Digamos que eu queira saber a integral de a até b de 1 dx . Portanto, esta é a área sob a curva y = 1 entre x = a e x = b . De acordo com o teorema fundamental, isso é igual a F (b) – F (a) . Mas acabamos de encontrar quatro antiderivadas diferentes. Vamos tentar um; digamos que usamos F (x) = x . De acordo com o teorema fundamental, a integral de a até b de 1 dx = b – a . Então, minha derivada é igualb – a . Isso faz muito sentido se eu pensar em um gráfico. Estou apenas encontrando a área sob uma linha reta, então isso vai ser apenas um retângulo . A altura do meu retângulo é 1 e a largura é b – a . Portanto, a área é 1 ( b – a ) ou b – a . Esta primeira antiderivada, onde apenas usamos x como a antiderivada, nos dá exatamente o que esperaríamos.
Mas e se usarmos a antiderivada x – 47 / pi ? O lado esquerdo ainda será o mesmo; ainda estamos encontrando a integral de a até b de 1 dx . No lado direito, usaremos agora a função x – 47 / pi . Se eu avaliar isso em x = b , obtenho b – 47 / pi . Vou subtrair dessa minha antiderivada em x = a , que é a – 47 / pi . Se eu expandir este termo, obtenho b – 47 / pi – a+ 47 / pi . Na verdade, posso cancelar isso – 47 / pi + 47 / pi e, novamente, recebo b – a . Na verdade, posso usar qualquer antiderivada no teorema fundamental, mas faz mais sentido usar aquelas sem constantes. I podem utilizar, para o caso de f (x) = 1, qualquer primitiva que é F (x) = x + C . Faz mais sentido, e não preciso fazer nenhuma simplificação, se eu escolher minha constante como 0.
Então, qual é o ponto? Considere sua velocidade como uma função do tempo, e o tempo vai de t = a até t = b . Se eu integrar a velocidade de a a b , obtenho a área sob a curva de a a b . Isto é, a distância Eu viajei de tempos a ao tempo b . Isso me diz onde estou em um determinado momento? Não, apenas me diz o quão longe eu fui em algum tempo. Para saber onde estou, preciso saber por onde comecei. Só porque andei 50 quilômetros não significa que estou em Las Vegas, pode significar que estou em Kalamazoo. Tudo depende de onde comecei.
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Integrais indefinidos como antiderivados
Vamos tornar isso um pouco mais concreto. Vamos definir a integral indefinida . A integral indefinida é a integral do integrando, f (x) dx onde x é uma variável de integração. Aqui eu não tenho limites inferior e superior. O integral indefinida de f (x) dx é igual a uma primitiva de x mais alguma constante de integração, ou F (x) + C . Ou seja, se eu tirar a derivada do lado direito, vou obter f (x) de volta .
O que tudo isso importa? Digamos que minha velocidade seja de 30 mph. Este é dx / dt , minha mudança de posição ao longo do tempo. Posso pegar esta função v = dx / dt , multiplicar ambos os lados por dt e integrar. Não estou me integrando em um determinado período de tempo, porque talvez eu não saiba quanto tempo vou ficar na estrada. Eu só sei que sempre estarei indo a 30 mph. Portanto, vou pegar a integral indefinida de ambos os lados da equação. Vamos plug-in 30 para a minha velocidade, e tenho a integral indefinida de 30 dt = 30 t + C . Esta é uma antiderivada de 30; se eu tirar a derivada disso, terei de volta 30. A integral de dx é apenas x+ C , porque posso tirar a derivada de x + C e obter 1. Minha equação torna-se 30 t + C = x . Por que eu fiz isso? Agora eu tenho minha posição, x , em qualquer ponto no tempo, apenas considerando minha velocidade. Que tal este C ? Isso é um desconhecido; Eu apenas chamei de constante de integração. Lembre-se, se eu apenas sei minha velocidade em função do tempo, preciso saber onde comecei para saber onde estou, quão perto estou de Las Vegas. Digamos que em t = 1 hora, eu estava a 60 milhas de casa. Vamos inserir isso na minha equação, 30 t + C = x . xé 60 e t = 1, então 60 = 30 + C . Se eu resolver isso, recebo minha constante de integração como sendo 30. Portanto, posso escrever minha equação para uma posição em função do tempo como x = 30 t + 30.
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Agora, dado um único ponto e minha velocidade, eu sei exatamente onde estou em qualquer ponto do tempo. Usando uma integral indefinida em vez de uma integral definida, encontrei minha posição para qualquer momento, em vez de onde estou em um determinado momento. Há uma pequena diferença aqui; isso é um pouco mais amplo.
Resumo da lição
Então, vamos revisar. O teorema fundamental do cálculo diz que a integral de a a b de f (x) dx = F (b) – F (a) . Da mesma forma, o integral indefinida de f (x) dx = F (x) + C .