Fazendo uma Bobina
Imagine que você está projetando uma bobina. Você sabe aproximadamente quanto tempo ele precisa ter, seu raio e aproximadamente quantas voltas ele faz em torno de seu eixo. Mas sem um modelo real para se desenrolar em um fio reto e medir, você poderia prever a quantidade de metal necessária para o seu projeto?
Esteja você tentando prever o comprimento ou a massa de metal necessária, responder a essa pergunta requer algum tipo de integral que some as contribuições de pequenos segmentos da bobina. No entanto, por ser um objeto 3D, as técnicas de integração do cálculo de variável única não podem produzir uma resposta.
Uma previsão exigiria que você avaliasse uma integral de linha , uma integral de uma função definida em uma curva 3D no espaço. Neste artigo, apresentaremos o maquinário necessário para realizar uma integral de linha e mostraremos como configurar e avaliar essa integral na prática.
Integração de linha
A avaliação de uma integral de linha, ou integral de caminho, começa com a definição do caminho de integração, denotado C , que significa ‘curva’. O caminho de integração é uma curva contínua através de um espaço ao longo do qual uma dada função f é integrada. Uma integral de linha tem a mesma interpretação geométrica que uma integral comum de cálculo de variável única; é a área total sob f . No entanto, a diferença é que a integração não está mais restrita a um eixo de coordenadas (ou seja, não é a área entre f (x) e o eixo x , mas sim a área entre fe curva C ).
A integração de linha é mais facilmente visualizada para uma função 2D f (x, y) . Essa função é descrita como uma superfície com altura z = f (x, y) acima do plano xy .
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É possível ver uma curva C na xy plano, e o integral de linha é definida como a área sob f directamente por cima C . A notação convencional para a integral de linha de f sobre C envolve uma medida de integração ds , em vez do dx que você vê no cálculo de variável única.
Lembre-se de que dx em uma integral de variável única é definido como um comprimento infinitesimal ao longo do eixo x . Analogamente, o DS é um comprimento de arco infinitesimais ao longo da curva C . Se f é dado como uma função do comprimento do arco s , então você pode avaliar essa integral diretamente usando técnicas de cálculo de variável única. No entanto, em aplicações, f (s) raramente é conhecido e f é mais provável de ser fornecido como uma função de coordenadas, por exemplo f (x, y) .
Como encontramos um valor real para uma integral de linha? Usando uma construção chamada parametrização.
Usando Parametrizações
A parametrização de uma curva atribui valores de um parâmetro t ao longo do caminho de integração C , especificando funções de t para cada coordenada, x (t) , y (t) , etc. Essas funções são construídas de forma que a curva C seja traçado por essas funções como t varia ao longo de um intervalo definido. Na Figura 1, você pode ver uma parametrização da curva y = x ^ 2 entre (0, 0) e (2, 4) conforme t varia entre 0 e 1.
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Aqui está a declaração matemática da mesma parametrização:
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Você pode verificar que, para um determinado valor de t no intervalo [0, 1], o par ordenado ( x (t), y (t) ) é sempre um ponto na curva y = x ^ 2. Por exemplo, se t = 0,25, então x (0,25) = 0,5 ey (0,25) = 0,25, de modo que y (0,25) = ( x (0,25)) ^ 2. É assim que sabemos que a parametrização acima é para a curva y = x ^ 2 e não para alguma outra curva.
Você pode construir muitas parametrizações da mesma curva. A próxima pergunta é: como uma parametrização nos ajuda a avaliar integrais de linha? Como dissemos acima, uma parametrização representa o caminho de integração C como várias funções de coordenadas de um único parâmetro t . Portanto, o integrando f (x, y) de uma integral de linha pode ser reformulado como uma função de variável única na curva, substituindo as funções de coordenadas de parametrização:
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Essa é a beleza de construir uma parametrização. Representamos uma função multidimensional como uma função de variável única em uma curva C específica . No entanto, nosso trabalho não está totalmente concluído. Para usar técnicas de integração de variável única, precisamos alterar a variável ds para dt usando a definição do comprimento do arco, que é:
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Agora podemos finalmente obter uma integral de variável única substituindo-a na definição original da integral de linha. A equação completa para uma integral de linha sobre uma curva no plano xy em termos de uma parametrização x (t) e y (t) é:
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Se a curva não for plana, mas for totalmente tridimensional, a equação para a integral de linha é em termos de três funções de parametrização: x (t) , y (t) e z (t) .
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Exemplo
Vamos integrar o seguinte:
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C é a curva y = x ^ 2 de (0, 0) a (2, 4). Na seção anterior, já fornecemos uma parametrização desta curva. Agora precisamos inserir as funções de coordenadas da parametrização na Equação 4 acima e integrá-las.
Primeiro, transformamos o integrando, substituindo as funções da Equação 2:
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Em seguida, pegamos as derivadas de x (t) e y (t) para inserir na Equação 4:
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Portanto, a integral de linha se transforma na integral de variável única de t no intervalo de 0 a 1 (uma vez que a parametrização na Equação 2 é definida de 0 a 1). O integral pode ser avaliado:
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E se você não tivesse uma parametrização? Em alguns casos, talvez você precise ser criativo e inventar o seu próprio. Fique tranquilo, não importa qual parametrização você venha com, você obterá o mesmo valor para a integral de linha. A avaliação das integrais de linha independe da parametrização. Apenas tente manter as coisas simples.
Resumo da lição
Nesta lição, percorremos as etapas de avaliação de uma integral de linha para encontrar a área sob a curva de uma função multivariável ao longo de uma curva multidimensional em um espaço. Uma integral de linha é uma integral de uma função definida em uma curva 3D no espaço. A chave para obter uma integral que pode realmente ser avaliada usando técnicas de variável única foi construir uma parametrização , um mapeamento de uma variável t em uma curva C usando funções de coordenadas x (t) , y (t) , etc.