Integrais de funções de gatilho inverso
Integrais de funções trigonométricas inversas podem ser difíceis de resolver, já que os métodos para sua integração não são tão simples como muitos outros tipos de integrais. No entanto, conhecer as identidades das derivadas dessas funções trigonométricas inversas nos ajudará a derivar suas integrais correspondentes. Teremos, portanto, de acoplar o que sabemos em termos de identidades de derivadas de funções trigonométricas inversas com o método de integração por partes para desenvolver fórmulas gerais para integrais correspondentes para essas mesmas funções trigonométricas inversas.
Derivadas de Funções Trig Inversas
Em algum ponto, você pode ter visto a seguinte tabela que representa as derivadas das funções trigonométricas inversas:
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Integrando Funções de Trig Inverso
Podemos usar essas identidades derivadas trigonométricas inversas juntamente com o método de integração por partes para derivar fórmulas para integrais para essas funções trigonométricas inversas.
O Integral da Tangente Inversa
Vejamos primeiro a integral de uma tangente inversa.
Vamos usar a tangente inversa tan -1 x como exemplo. Dada a fórmula para a derivada desta função trigonométrica inversa (mostrada na tabela de derivadas), vamos usar o método para integração por partes, onde ∫ udv = uv – ∫ vdu , para derivar uma fórmula correspondente para a integral do inverso tan – 1 x ou ∫ tan -1 xdx . Olhe novamente para a derivada da tangente inversa:
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Devemos encontrar valores correspondentes para u , du e para v , dv para inserir em ∫ udv = uv – ∫ vdu .
Como desejamos integrar tan -1 xdx , definimos u = tan -1 x , e dada a fórmula para sua derivada, definimos:
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Podemos definir dv = dx e, portanto, dizer que v = ∫ dx = x .
Agora temos todos os componentes de que precisamos para nossa integração por partes. Substituindo nossos u , du , v e dv correspondentes em ∫ udv = uv – ∫ vdu , teremos:
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A única coisa que resta a fazer é integrar o lado direito:
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Nesse caso, teremos que fazer algumas substituições fáceis, onde w = 1 + x 2 e dw = 2x dx . Configurando a integral da seguinte forma:
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e então integrando isso e fazendo a substituição reversa, onde w = 1 + x 2 , temos:
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Voltando ao nosso integral original de ∫ tan -1 xdx , sua solução, sendo a fórmula geral para ∫ tan -1 xdx , é:
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O Integral do Seno Inverso
Agora, vamos dar uma olhada mais de perto na integral de um seno inverso:
Da mesma forma, podemos derivar uma fórmula para a integral do seno inverso ou ∫ sin -1 xdx , com a fórmula para sua derivada, que você deve se lembrar é:
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Usando a integração por partes, chegamos a:
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Esta é uma fórmula geral para a integral do seno.
Podemos aplicar a mesma lógica para encontrar o restante das fórmulas integrais gerais para as funções trigonométricas inversas.
Integrais de funções de gatilho inverso
Se aplicarmos integração por partes com o que sabemos de derivadas trigonométricas inversas para obter fórmulas integrais gerais para o restante das funções trigonométricas inversas, teremos o seguinte:
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Portanto, quando nos deparamos com problemas envolvendo a integração de uma função trigonométrica inversa, temos alguns modelos para resolvê-los.
Resumo da lição
Vamos revisar brevemente o que aprendemos sobre as integrais das funções trigonométricas inversas. Problemas envolvendo integrais de funções trigonométricas inversas podem parecer assustadores. No entanto, quando equipados com suas fórmulas gerais, esses problemas não são tão difíceis. Essas fórmulas são facilmente acessíveis. Isso ajuda a entender a derivação dessas fórmulas. Dada uma função trigonométrica inversa e sua derivada, podemos aplicar integração por partes para derivar essas integrais correspondentes.