Compreendendo o movimento e o movimento dinâmico
Imagine o seguinte: você está dormindo em casa à noite. De repente, um homem irrompe em seu quarto e diz: ‘Precisamos de você para apoiar seu país!’ Bem, além de estar com os olhos um pouco turvos, você pode dizer: ‘Do que você está falando? O que voce precisa que eu faca?’ Ele diz: ‘Isso é classificado! Não podemos dizer até que saibamos que você está preparado para o rapé. Então ele vendou você, colocou você em um caminhão e o levou sabe-se lá onde por cerca de quatro horas. Enquanto você está com os olhos vendados, entediado na traseira do caminhão, na sua cabeça, você começa a fazer gráficos, porque nada o excita mais do que a matemática. Você representa graficamente sua velocidade em função do tempo. Primeiro, o caminhão acelera, depois desacelera. Então ele acelera. Você está capturando tudo isso neste pequeno gráfico em sua cabeça. Finalmente, após quatro horas desse tipo de direção, você é puxado para fora do caminhão e o agente do governo diz a você: ‘Então … onde você está?’ Bem, é uma coisa boa você estar brincando com matemática na sua cabeça!
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Encontrando sua posição usando a velocidade
Então você se senta e pensa: ‘O que eu sei sobre movimento ?’ Você diz: ‘Bem, tudo bem, se eu definir uma variável x como minha posição em função do tempo, então sei que a derivada de x em relação ao tempo é a taxa de mudança de minha posição. Essa taxa de mudança vai depender do tempo e vai se igualar à minha velocidade. A taxa de variação da minha velocidade também vai depender do tempo, e essa é a minha aceleração. Plotei minha velocidade em função do tempo, então, se eu pegasse a derivada desse gráfico, poderia obter minha aceleração. ‘ Mas ele não me perguntou o quão rápido eu acelerei. Ele me perguntou onde eu estava. Conheço minha velocidade e preciso encontrar minha posição. Se eu multiplicar ambos os lados por dte integrar a partir do meu tempo inicial e ponto ao tempo e ponto final, eu entendo que a integral da velocidade em relação ao tempo é igual à minha posição final menos a minha posição inicial. Então, tudo isso significa que se eu tiver velocidade e integrá-la ao longo de algum período de tempo, isso vai me dar a distância que percorri. Este é um bom começo. Eu poderia então escrever que minha posição atual é igual à minha posição inicial mais a integral de velocidade que está na minha cabeça agora.
Resolvendo Movimento Dinâmico com Integração
Então, a integral da velocidade em relação ao tempo entre quando eles me puxaram para fora da cama e agora … isso significa que estou procurando a área sob esta curva na minha cabeça. Então, como posso fazer isso? Bem, vamos primeiro dizer que minha velocidade em função do tempo é esta função, f (t) . Portanto, é (- ( t – 1) ^ 2) + 1 para as primeiras duas horas. Durante aquela segunda hora, do tempo t = 2 até t = 3, minha velocidade foi igual a ( t / 2) – 1. Foi quando eu estava acelerando novamente. Finalmente, entre t = 3 e t = 4, aquela última hora na van, minha velocidade era igual a (1 – (( t – 3) ^ 3)) / 2. Então, posso usar essas informações para encontrar a área sob esta curva e, portanto, minha posição atual?
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Vamos recapitular o que sabemos. Comecei em uma posição a 30 milhas ao norte da cidade, porque era onde ficava minha casa. E eu sei que minha posição final vai ser igual à minha posição inicial, mais a integral de quando eles me puxaram para fora da cama até agora, da minha velocidade em função do tempo. Então, minha velocidade em função do tempo era assim, e a função é igual a esta função de três partes.
Calculando o Integral
Vamos tentar calcular essa integral. Como tenho três equações diferentes para essas três regiões, vou dividir minha integral nessas três regiões. Então, eu tenho a integral de 0 a 2, de 2 a 3 e de 3 a 4, ou agora. Vamos resolver essas três integrais. Primeiro, tomaremos a integral de 0 a 2 de (- ( t – 1) ^ 2) + 1. Se eu integrar (- ( t – 1) ^ 2) + 1, obtenho isto: -1/3 ( t – 1) ^ 3 + t . Este + t vem de 1; 1/3 ( t – 1) ^ 3 vem das regras polinomiais que conhecemos. Vou avaliar tudo isso de 0 a 2. Meu segundo termo também é um polinômio. Eu tenho (( t ^ 2) / 4) – t , porque se eu tirar a derivada de (t ^ 2) / 4) – t , eu volto ( t / 2) – 1. Vou avaliar isso de 2 a 3. Meu último termo ainda é outro polinômio, embora seja ao cubo – é apenas um maior ordem. Quando eu integro isso, obtenho ( t – (1/4) ( t – 3) ^ 4) / 2; Vou avaliar isso de t = 3 a t = 4. Se eu conectar todos eles – avalio meu primeiro termo de t = 0 a t= 2, meu segundo mandato de 2 a 3, e meu terceiro mandato de 3 a 4 – recebo uma equação bastante longa. Mas não há variáveis aqui; Eu posso resolver isso. Quando eu faço isso, acabo obtendo 47/24. Lembre-se, isso é igual à integral de tempo igual a puxar para fora da cama até agora de minha velocidade em função do tempo. Portanto, posso voltar e conectar isso: são 47/24 milhas da minha posição atual. Bem, se minha posição atual era 30 milhas ao norte da cidade, e eu fui mais 47/24 milhas ao norte, então minha posição atual é cerca de 32 milhas ao norte da cidade.
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Resumo da lição
Vamos revisar. Se eu tenho x , que é uma posição em função do tempo, então sei que a derivada de x em relação ao tempo é igual à minha velocidade, porque essa é a taxa de variação da minha posição. Se eu integrar minha velocidade ao longo de um determinado período de tempo, isso me dará a mudança em minha posição ao longo desse período de tempo. Portanto, posso usar as informações sobre minha posição inicial e minha velocidade em função do tempo para chegar à minha posição atual. Sabendo de tudo isso sobre movimento e dinâmica, conseguimos convencer esse homem de preto de que estamos à altura da tarefa de salvar o país e salvar o mundo só por saber um pouco de cálculo.