Média versus Instantânea
Digamos que você fosse fazer uma viagem da cidade de Nova York a Washington, DC Ignorando a oitava maravilha do mundo que é o engarrafamento na New Jersey Turnpike, a distância é de 225 milhas. Normalmente, as pessoas reservam cerca de quatro horas para a viagem. No entanto, quão rápido você tem que ir para que isso aconteça? Acabei de fazer uma pergunta capciosa. Se você fosse encontrar a taxa média, resultaria em cerca de 56 milhas por hora. No entanto, duvido seriamente que você saia de sua garagem a 90 km / h. Em vez disso, haverá momentos em que você vai um pouco mais rápido, e haverá momentos em que você vai um pouco mais lento. Aquela 56 mph foi apenas sua velocidade média, enquanto a velocidade que você está indo em um momento exato é a velocidade instantânea. Não surpreendentemente, temos uma maneira de representar graficamente para ambos usando linhas secantes e linhas tangentes.
A Linha Secante
Uma linha secante é definida como uma linha reta que toca uma curva em dois pontos. Dito de outra forma, a linha secante é uma linha que representa a taxa média de mudança. Se você fosse representar graficamente a taxa média de variação de nossa velocidade enquanto dirigíamos entre Nova York e Washington, o que acabaríamos com a linha secante. Leva apenas o tempo total e a distância total em consideração. Por outro lado, não leva em consideração atrasos na espera por praças de pedágio em Nova Jersey, mas também não leva em consideração uma abordagem frouxa em relação ao excesso de velocidade, tomada em algumas outras partes da rota.
Encontrando a Inclinação da Linha Secante
Provavelmente, você está bem familiarizado com a fórmula de inclinação que permite calcular a inclinação de uma linha entre dois pontos. Se não, é a diferença na mudança de y sobre a diferença na mudança de x. Em outras palavras, é a ascensão sobre a corrida. A inclinação de uma linha criada por uma curva entre dois pontos é a linha secante. Agora, se fôssemos pegar a linha secante de Nova York a Washington, isso indicaria que, para cada hora de mudança, nos movemos a 90 km / h. Digamos que nos livramos dos engarrafamentos e nos concentramos apenas na hora mais rápida dessa viagem. Nossa linha secante está mudando, mas estamos nos aproximando de um ponto instantâneo. Uma linha secante não pode nos dar o valor exato, mas pode chegar muito perto. Essa é a fraqueza da linha secante e da fórmula de inclinação. Ele só pode ser usado em uma faixa de pontos. Se a curva em questão for na verdade uma linha reta, tudo bem. Afinal, a inclinação é constante. No entanto, sua viagem de Nova York a Washington não foi em uma velocidade constante. Afinal, você não t saia de sua garagem a 56 mph. Então, como podemos verificar a velocidade exata em um momento exato?
A Linha Tangente
Isso pode ser feito por meio de uma linha tangente. Uma linha tangente toca uma curva em exatamente um ponto e, como resultado, mostra a taxa de mudança naquele momento preciso. A má notícia é que não existe uma fórmula fácil de aprender na aula de geometria para encontrar a inclinação de uma reta tangente. A boa notícia é que você não precisa de nenhuma fórmula. Você só precisa fazer a derivada . Lembre-se de que a derivada é a medida da mudança em um ponto preciso ao longo de uma curva. Você pode obter a derivada de uma função simplesmente multiplicando cada coeficiente pelo valor do expoente da variável e, em seguida, subtrair um do expoente. Isso soa muito estranho, então vamos ver um exemplo. Digamos que desta vez você esteja levando um foguete para a lua,= x ^ 2 + 4 x -32. Em nossa derivada, x ^ 2 torna-se 2 x , já que multiplicamos por dois e então subtraímos 1 do expoente. 4 x torna-se 4, já que 4 vezes 1 é quatro, e um expoente de x elevado à 0ª potência é 1. Finalmente, como o 32 não tem uma variável, ele simplesmente é apagado. A derivada dessa equação seria 2 x +4. Agora, simplesmente conecte o tempo para x e você obterá a velocidade em qualquer momento específico.
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos a diferença entre linhas secantes e linhas tangentes e como usar cada uma para encontrar a inclinação de uma curva. As linhas secantes são aquelas que tocam uma curva duas vezes e, como tal, podem ser usadas para encontrar a mudança média. Podemos reduzir a distância entre esses pontos a quantidades muito pequenas, mas é sempre uma média. Calculamos a linha secante usando a fórmula da inclinação . Enquanto isso, as linhas tangentes tocam apenas uma curva em um ponto. Como resultado, eles fornecem a taxa instantânea de mudança, mas devem ser calculados usando uma derivada.