Funções
Pense na última vez que você comeu em um restaurante e tente se lembrar do menu de sobremesas. Provavelmente era algo assim:
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Viu como o preço da sobremesa é determinado pelo tipo de sobremesa? Em outras palavras, se eu disser o tipo de sobremesa que desejo, você poderá determinar o preço. Esse relacionamento é um exemplo de função. Em uma função , uma variável é determinada pela outra. Pegamos uma entrada, inserimos na função e a função determina a saída. Por exemplo, se eu disser que quero pudim de tapioca, você o coloca na função de menu de sobremesa e me diz que custa $ 3.
As funções têm muitas representações. No exemplo anterior, descrevemos a função em palavras, e a imagem do cardápio de sobremesas descreveu a função por meio de um mapeamento, que relacionou o tipo de sobremesa ao preço. Podemos determinar que essa é uma função garantindo que um tipo de sobremesa não corresponda a dois preços diferentes. Se fosse esse o caso, não poderíamos determinar o preço pelo tipo de sobremesa. Por exemplo, considere este menu de sobremesas:
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Se eu dissesse que queria pudim de tapioca, você não poderia me dizer se custava $ 2 ou $ 3, então isso não representaria uma função.
Em geral, um relacionamento é uma função se para cada entrada houver exatamente uma saída. Quando for esse o caso, podemos determinar a saída com base na entrada. Vamos considerar mais algumas representações de funções e como identificar uma função a partir dessas representações.
Pares ordenados
Uma função pode ser representada usando pares ordenados. Simplesmente escrevemos as entradas como as primeiras coordenadas e as saídas como as segundas coordenadas. Considere nosso exemplo de menu de sobremesas. Nós representaríamos isso usando pares ordenados como este:
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Por nossa regra de função, nenhuma entrada pode ter mais de uma saída, portanto, um conjunto de pares ordenados é uma função, desde que dois pares ordenados não tenham a mesma primeira coordenada com segundas coordenadas diferentes. Isso é ilustrado aqui:
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O primeiro conjunto de pares ordenados é uma função, porque dois pares ordenados não têm as mesmas primeiras coordenadas com segundas coordenadas diferentes. O segundo exemplo não é uma função, pois contém os pares ordenados (1,2) e (1,5). Eles têm a mesma primeira coordenada e diferentes segundas coordenadas.
Mesas
Podemos usar tabelas para representar funções listando os valores de entrada em uma coluna e os valores de saída correspondentes em outra coluna. Vejamos nossa função de sobremesa usando uma tabela.
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Para determinar se uma tabela representa uma função, pensamos em nossa regra. Nenhuma entrada pode ter mais de uma saída. Assim, em nossa tabela, não podemos ter duas entradas com a mesma entrada e saídas diferentes. Considere estas tabelas:
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A primeira tabela representa uma função, já que não há entradas com a mesma entrada e saídas diferentes. A segunda tabela não é uma função, porque duas entradas têm 4 como entrada, mas uma tem 7 como saída e a outra tem 14 como saída.
Gráficos
Também podemos representar funções usando gráficos plotando todos os pares ordenados de uma função em um eixo de coordenadas. Por exemplo, considere a função y = 2 x + 1. Representamos graficamente todos os pares ordenados que satisfazem a equação.
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Mas como sabemos que isso é uma função? Temos uma maneira realmente interessante de determinar se um gráfico representa uma função. Uma função não pode ter dois pares ordenados com a mesma primeira coordenada e segundas coordenadas diferentes. Vamos pensar no que aconteceria se dois desses pontos estivessem em um gráfico.
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Observe que se houver dois pontos com a mesma primeira coordenada e segundas coordenadas diferentes, podemos traçar uma linha vertical através deles. Visto que um gráfico que é uma função não pode conter dois pontos como este, faz sentido que uma linha vertical desenhada em qualquer lugar do gráfico cruze o gráfico apenas uma vez. Isso é chamado de teste de linha vertical , e afirma que um gráfico é uma função se uma linha vertical desenhada em qualquer lugar naquele gráfico cruza o gráfico apenas uma vez.
Considere o gráfico de nossa reta y = 2 x + 1. Observe que, se desenharmos uma linha vertical em qualquer lugar do gráfico, ela só cruzará o gráfico uma vez, de modo que o gráfico representa uma função. Agora, considere este gráfico:
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Com este gráfico, podemos desenhar uma linha vertical conforme mostrado, e ela cruza o gráfico mais de uma vez, portanto, este gráfico não representa uma função.
Resumo da lição
Uma função é um relacionamento no qual uma variável é determinada pela outra variável. Em uma função, cada entrada tem exatamente uma saída, portanto, se um relacionamento tem uma entrada que tem mais de uma saída, esse relacionamento não é uma função.
Podemos representar funções de muitas maneiras diferentes. Por exemplo, podemos usar palavras, mapeamentos, pares ordenados, tabelas e gráficos. Em cada uma dessas representações, podemos determinar se temos uma função usando nossa regra. Nenhuma entrada pode ter mais de uma saída. Assim, em pares ordenados, dois pares ordenados não podem ter a mesma primeira coordenada e diferentes segundas coordenadas. Nas tabelas, duas entradas não podem ter a mesma entrada com duas saídas diferentes. Em gráficos, podemos usar o teste de linha vertical, certificando-nos de que uma linha vertical desenhada em qualquer lugar do gráfico cruze o gráfico apenas uma vez.