Definição de identidades pitagóricas
As identidades pitagóricas em trigonometria são as três identidades que vêm do teorema de Pitágoras. Lembre-se de que o teorema de Pitágoras afirma que a hipotenusa ao quadrado de um triângulo retângulo é a soma do quadrado de cada um dos outros dois lados, ou a ao quadrado mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado, como você pode ver aqui:
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No teorema de Pitágoras, c representa a hipotenusa, e um e b suporte para os outros dois lados do triângulo retângulo. A partir desse teorema, três identidades podem ser determinadas a partir da substituição em seno e cosseno.
A Primeira Identidade
O primeiro que aparece aqui provavelmente se parece muito com o teorema de Pitágoras.
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Essa identidade vem de olhar para o círculo unitário. Todos os triângulos retângulos formados pelo círculo unitário terão uma hipotenusa de 1. Com uma hipotenusa de 1 e com nosso ângulo na origem do plano de coordenadas em que o círculo unitário é desenhado, podemos determinar algumas relações entre os lados e nossos seno e cosseno.
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Olhando para este triângulo com uma hipotenusa de 1, vejo que minha razão para sin (theta) é a / 1, então eu sei que a = sin (theta). Meu cosseno então é b / 1, então b = cos (theta) e meu c = 1. Conectando esses valores ao teorema de Pitágoras, chegamos à nossa primeira identidade.
Essa identidade é útil quando você vê um problema com um seno ao quadrado mais um cosseno ao quadrado. Você pode usar essa identidade e substituir o seno ao quadrado mais o cosseno ao quadrado pelo 1.
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O exemplo que aparece aqui mostra apenas uma maneira de usar essa identidade. Você pode substituir o seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado pelo 1 ou pode substituir o 1 por seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado. Depende do problema e o que o tornará mais fácil de resolver.
A Segunda Identidade
Nossa segunda identidade, na verdade, vem da primeira. Essa identidade tem um dos lados igual a 1.
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Para chegar a essa identidade, dividimos nossa primeira identidade por seno ao quadrado de modo a obter um lado igual a 1. Sabemos que cosseno ao quadrado dividido por seno ao quadrado é cotangente ao quadrado, e também sabemos que 1 dividido por seno ao quadrado é cossecante ao quadrado. Usando essas propriedades, chegamos à nossa segunda identidade: 1 mais cotangente ao quadrado é cossecante ao quadrado.
Você pode usar essa identidade da mesma forma que usaria a primeira. Como você pode ver, temos:
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A Terceira Identidade
Nossa terceira identidade tem o último lado igual a 1. Para fazer isso, precisamos dividir nossa primeira identidade pelo cosseno ao quadrado. Já conhecemos algumas propriedades da trigonometria, como seno ao quadrado dividido pelo cosseno ao quadrado é igual a tangente ao quadrado e aquele 1 dividido pelo cosseno ao quadrado é secante ao quadrado. Ter todas essas informações nos permite chegar à nossa terceira identidade: tangente ao quadrado mais 1 é igual a secante ao quadrado.
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Essa identidade, como as duas primeiras, pode ser usada em problemas para ajudá-lo a simplificar e resolver.
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Neste último problema, resolvi a terceira identidade para tangente ao quadrado menos secante ao quadrado. Ele me dá -1, então posso usar essa substituição no meu problema.
Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos. Existem apenas três identidades pitagóricas , que são simplesmente as três identidades que vêm do teorema de Pitágoras. Cada um pode ser derivado do outro por alguma substituição trigonométrica e por referência a algumas propriedades trigonométricas. Todos são baseados no teorema de Pitágoras e todos usam o triângulo do círculo unitário. Se você entendeu a lição, você deve ser capaz de calcular facilmente cada uma das três identidades pitagóricas.