Matemática

Identidades de produto para soma: usos e aplicações

Identidades de produto para soma

Na trigonometria, fazemos uso de identidades ou afirmações verdadeiras. Como você viu, existem muitos. Nesta vídeo-aula, falaremos sobre o grupo de identidades conhecido como identidades produto-para-soma . Essas identidades são as verdadeiras instruções trigonométricas que mostram como ir do produto de duas funções trigonométricas para a soma de duas funções trigonométricas. Pense nisso como definições.

Por serem definições, também são intercambiáveis. Você pode usar o formulário do produto ou o formulário da soma para descrever a mesma coisa. Temos um total de quatro dessas identidades. Todos eles envolvem apenas as funções cosseno e seno.

identidades de produto

Como você pode se lembrar disso? Procure padrões. Veja os dois primeiros. Observe como o lado esquerdo tem as funções seno e cosseno. Os lados direitos têm apenas a função seno. O lado direito tem nossos dois ângulos somados e então subtraídos um do outro. Além disso, observe que se a função seno vem primeiro no lado esquerdo, então temos um sinal de mais entre nossas funções seno no lado direito.

Agora veja as duas últimas funções. O lado esquerdo tem duas funções iguais. Eles são cossenos ou senos. O lado direito possui apenas a função cosseno. Se ambas as funções no lado esquerdo forem cossenos, então nossos cossenos serão adicionados no lado direito. Além disso, observe que nossa subtração e adição de nossos dois ângulos foram trocadas das duas primeiras identidades. Agora temos a subtração de nossos dois ângulos vindo primeiro. Reserve um momento e procure outros padrões. O que mais você vê que o ajudará?

Usos e aplicações

É bom memorizá-los, se possível, porque essas identidades o ajudarão a simplificar problemas de trigonometria mais complicados, além de ajudá-lo a provar outras instruções trigonométricas. Você encontrará esse conjunto de instruções trigonométricas em testes e em outras classes de trigonometria. Essas identidades trigonométricas também são úteis para ajudar a resolver as integrais de matemática avançada em problemas de cálculo. Você quer ver alguns exemplos de que tipos de problemas você pode esperar encontrar? Ok, vamos dar uma olhada.

Exemplo 1

Para nosso primeiro problema, examinaremos um problema de simplificação.

Reescreva a função cos (40) sin (30) sem usar multiplicação.

Nós lemos o problema. O problema quer que reescrevamos a função para que a multiplicação não ocorra. O que podemos fazer?

Pensamos nas identidades que acabamos de aprender no início desta lição. Essas identidades não nos ajudam a transformar um problema de multiplicação em um sem multiplicação? Sim, eles fazem. Então, vamos olhar para nossas identidades novamente. Ah, vemos que a segunda identidade se ajusta ao nosso problema. Então, ele começa com cosseno e está sendo multiplicado pela função seno. Agora, podemos seguir em frente e seguir o que está escrito no lado direito para encontrar nossa resposta. Para a primeira função seno, adicionamos nossos dois ângulos até 70. Para a segunda função seno, subtraímos 40 – 30 para obter 10 para esse argumento. Recebemos uma resposta de 1/2 (pecado (70) – pecado (10)) e pronto!

identidades de produto

Exemplo 2

Nosso segundo problema agora é provar uma declaração trigonométrica.

Prove a afirmação trigonométrica 2 sin (x) sin (y) = cos (x – y) – cos (x + y).

Lembre-se de que, para provar uma afirmação matemática, começamos com o lado mais difícil e tentamos simplificar esse lado para o outro lado. Então, em vez de trabalhar com os dois lados, trabalhamos apenas com um lado. Para o nosso problema, parece que ambos os lados têm a mesma dificuldade. Então, vamos escolher um lado e partir daí. Escolhemos o lado esquerdo.

Então, queremos virar o lado esquerdo para o lado direito de alguma forma. Voltamo-nos para nossas identidades. Vemos que podemos substituir a quarta identidade no lado esquerdo. Fazendo isso, obtemos 2 (1/2) * (cos (x – y) – cos (x + y). Hmm. Parece que podemos cancelar o 2 com 1/2. Fazendo isso, ficamos com cos (x – y) – cos (x + y), nosso lado direito. Conseguimos! Como esse é um problema de comprovação, nossa resposta completa inclui todas as etapas que demos.

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Resumo da lição

Vamos revisar o que aprendemos agora:

Nossas identidades de produto para soma são as verdadeiras instruções trigonométricas que mostram como ir do produto de duas funções trigonométricas para a soma de duas funções trigonométricas. Essas identidades são usadas para simplificar problemas trigonométricos mais complicados e também para provar outras instruções trigonométricas. Temos um total de quatro identidades de produto para soma. Todas essas identidades envolvem apenas as funções cosseno e seno.

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Resultados de Aprendizagem

Depois de revisar esta lição, você deverá ser capaz de:

  • Descreva a finalidade das identidades do produto para a soma
  • Identifique as quatro identidades de soma de produto
  • Explique como usar essas identidades para resolver problemas mais complicados ou provar outras instruções trigonométricas