Identidades de meio-ângulo
Nesta vídeo-aula, abordamos as identidades de meio ângulo da trigonometria, que são as afirmações verdadeiras de meio ângulo. Estas são definições, se você quiser. Em outras palavras, eles dizem o que uma função trigonométrica específica é igual. Você pode ver aqui que eles pegam uma função trigonométrica quadrada e a transformam em uma função trigonométrica sem expoentes:
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Temos um meio-ângulo para cada uma de nossas três funções trigonométricas básicas. Temos um para seno, um para cosseno e um para tangente. Como você pode ver, nosso ângulo foi reduzido pela metade, daí o nome identidade de meio ângulo. No lado esquerdo, nossa função trigonométrica é elevada ao quadrado e, à direita, vemos a declaração equivalente em termos de cosseno sem quaisquer expoentes. Além disso, o ângulo do lado direito não é mais reduzido à metade.
Usos e aplicações
Então, o que você pode fazer com essas identidades? Usamos essas identidades quando precisamos de ajuda para simplificar uma função trigonométrica. Quando temos uma função trigonométrica quadrada, às vezes é difícil trabalhar com matemática superior. Portanto, se o transformarmos em uma instrução equivalente sem expoentes, isso nos ajudará a resolver o problema com muito mais facilidade.
Você pode pensar nessas identidades trigonométricas de meio ângulo como uma chave que o ajuda a decodificar ou simplificar um problema mais difícil. Sem essa chave, talvez você não consiga resolver o problema. Mas com a chave, você pode encontrar o caminho para a resposta. Além disso, essas identidades são usadas para provar ainda outras identidades ou declarações trigonométricas. Vejamos alguns exemplos agora para ver o que podemos fazer com essas identidades trigonométricas.
Exemplo 1
Este problema está nos pedindo para escrever esta função trigonométrica sem quaisquer expoentes:
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À primeira vista, podemos pensar que esse problema já é o mais simples possível. Ele tem apenas uma função: a função seno. Mas o problema quer que escrevamos de forma que não tenhamos o quadrado. Como podemos fazer isso?
Bem, olhamos para o ângulo e notamos que nosso ângulo está sendo reduzido à metade. Ah. Podemos ver se podemos usar uma de nossas identidades de meio ângulo. Nós olhamos nossa lista. Veja! Aqui, temos uma função seno ao quadrado que é igual a algo sem expoentes. Podemos usar esse para obter nossa resposta:
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E aí temos nossa resposta sem quaisquer expoentes. Este problema era um problema bastante direto com uma resposta direta simples. Vamos examinar outro problema.
Exemplo 2
Agora, nosso problema é nos pedir para provar esta declaração trigonométrica:
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Para provar uma afirmação como esta, começaremos com o lado esquerdo, já que é o lado mais complicado. Vamos deixar o lado direito sozinho. O que vamos tentar fazer é simplificar o lado esquerdo para que se torne o lado direito. Vamos começar. Primeiro, vemos que temos uma função cosseno ao quadrado de um meio-ângulo. Podemos usar uma de nossas identidades e fazer essa substituição. Nós entendemos isso:
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OK. Agora podemos ver se podemos cancelar algo ou simplificar ainda mais. Vemos que temos um 2 dividido por 2. Eles se cancelam mutuamente. Isso nos deixa com 1 + cos ( x ) – cos ( x ). Temos um cosseno positivo e um cosseno negativo. Não somam 0? Eles fazem! Então, o que nos resta? Ficamos com 1. Isso é exatamente o que estávamos procurando. Nossa resposta final é toda a nossa série de cálculos, terminando com nosso número desejado de 1:
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Resumo da lição
Ok, vamos revisar o que aprendemos agora. Identidades de meio-ângulo são as declarações verdadeiras para meio-ângulos, ou definições, se você quiser. Temos três deles: um para seno, um para cosseno e um para tangente.
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Essas identidades são usadas para nos ajudar a provar outras declarações ou identidades trigonométricas, bem como para nos ajudar a simplificar nossos problemas trigonométricos mais complicados. Usamos essas identidades e as substituímos em nossos problemas para obter nossas respostas.
Resultados de Aprendizagem
Quando esta vídeo aula terminar, reserve um tempo para ver se você pode:
- Reconte a definição de identidades de meio-ângulo
- Identifique as três identidades de meio-ângulo
- Use essas identidades para tornar o processo de resolução de problemas mais fácil e para provar identidades trigonométricas