Identidades de soma para produto
As identidades da soma para o produto são as verdadeiras declarações de trigonometria que informam como transformar a soma ou subtração de duas funções trigonométricas no produto de duas funções trigonométricas. Pense nessas definições como dizendo a você a que algo é igual. Você pode ir e voltar entre a definição e o termo que está sendo definido. Nós os chamamos de identidades, no plural, porque temos mais de uma. Temos quatro deles! Todas essas identidades lidam exclusivamente com as funções cosseno e seno. Vamos dar uma olhada em sua aparência.
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São muitos senos e cossenos! Mas observe alguns dos padrões. Ver os padrões o ajudará a se lembrar dessas fórmulas. Observe que, quando você tem a soma ou subtração de duas funções seno, acaba com o produto das funções seno e cosseno. O argumento da primeira função é x + y sobre 2 e o argumento da segunda função é x – y sobre 2.
Se tivermos a soma de duas funções seno, nossa primeira função será 2. Se tivermos subtração, nossa primeira função será a função cosseno. Agora, se temos a soma ou subtração de duas funções cosseno, então terminamos com o produto de duas funções seno ou duas funções cosseno. Se tivermos a soma de duas funções cosseno, terminaremos com o produto de duas funções cosseno. Se tivermos a subtração de duas funções cosseno, terminaremos com o negativo do produto de duas funções seno.
Portanto, se você tiver a soma de duas funções, seu primeiro termo será sempre igual às funções que você está adicionando ou subtraindo. Pense no sinal de mais como algo que diz: ‘Sim, tenho certeza de que essas funções estão em primeiro lugar.’ Pare um pouco e veja se consegue identificar outros padrões.
Usos e aplicações
Lembrar dessas identidades o ajudará quando você precisar resolver problemas de trigonometria. Você usará essas identidades para ajudá-lo a simplificar problemas de trigonometria mais complicados e para provar outras instruções de trigonometria. Em matemática avançada, como cálculo, essas identidades ajudam a resolver problemas integrais complicados. Você está pronto para dar uma olhada em alguns exemplos? OK, vamos lá.
Exemplo 1
Nosso primeiro exemplo quer que reescrevamos sin (35) – sin (15) usando a multiplicação. Como podemos fazer isso? Podemos fazer isso fazendo uso de nossas identidades. Examinamos nossa lista e vemos que nosso problema corresponde à segunda identidade. Podemos usar essa identidade para nos ajudar a reescrever nossa subtração de duas funções seno em termos de multiplicação. Seguimos nossa identidade, adicionando nossos dois ângulos e então subtraindo nossos dois ângulos antes de dividir por 2. Recebemos 2 cos (25) sin (10) para nossa resposta.
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Esse não foi tão ruim. Vê como memorizar essas identidades torna esses problemas muito mais fáceis? Você teria detectado essa identidade a um quilômetro de distância. Basta olhar para o problema e você o reconhecerá imediatamente como um problema que envolve essa identidade.
Exemplo 2
Nosso segundo problema nos pede para provar esta declaração trigonométrica:
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Quando provamos uma afirmação específica, escolhemos o lado mais difícil e tentamos simplificá-lo para que se pareça com o outro lado. Em vez de trabalhar com os dois lados, trabalhamos apenas com um lado, deixando o outro igual. Nosso objetivo é tornar os lados iguais uns aos outros.
Para o nosso problema, os dois lados parecem igualmente difíceis. Então, vamos escolher um lado aleatório. Vamos escolher o lado esquerdo. OK. Portanto, queremos virar o lado esquerdo para o lado direito. Podemos fazer isso substituindo em nossas identidades de soma para produto. Vemos que podemos reescrever nosso lado esquerdo como (1/2) (cos ( x ) + cos ( y )). Quando o reescrevemos assim, vemos que podemos substituir a soma de nossos cossenos por sua declaração equivalente que usa multiplicação. Substituindo isso, temos o seguinte:
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Podemos simplificar essa afirmação cancelando a metade com 2. O que nos resta? Ora, nosso lado direito! Conseguimos! Como esse problema está nos pedindo para provar a afirmação, nossa resposta completa deve incluir todos os passos que demos para ir do lado esquerdo para o lado direito. Nossa resposta completa é a seguinte:
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Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos agora. Aprendemos que nossas identidades de soma para produto são as verdadeiras declarações de trigonometria que dizem como transformar a soma ou subtração de duas funções de trigonometria no produto de duas funções de trigonometria. Temos um total de quatro dessas identidades. Todos eles envolvem apenas as funções cosseno e seno.
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Usamos essas identidades para nos ajudar a simplificar problemas trigonométricos mais complicados e também para provar outras instruções trigonométricas. Essas identidades também são usadas em matemática avançada, como cálculo, para ajudar a resolver problemas integrais complexos.
Resultados de Aprendizagem
Você deve ser capaz de fazer o seguinte após esta lição:
- Identifique as quatro identidades trigonométricas soma-para-produto
- Explique como usar essas identidades para resolver problemas complexos e provar outras instruções trigonométricas