Matemática

Identidades da soma para o produto: usos e aplicações

Identidades de soma para produto

As identidades da soma para o produto são as verdadeiras declarações de trigonometria que informam como transformar a soma ou subtração de duas funções trigonométricas no produto de duas funções trigonométricas. Pense nessas definições como dizendo a você a que algo é igual. Você pode ir e voltar entre a definição e o termo que está sendo definido. Nós os chamamos de identidades, no plural, porque temos mais de uma. Temos quatro deles! Todas essas identidades lidam exclusivamente com as funções cosseno e seno. Vamos dar uma olhada em sua aparência.


Identidades de soma para produto
soma de identidades

São muitos senos e cossenos! Mas observe alguns dos padrões. Ver os padrões o ajudará a se lembrar dessas fórmulas. Observe que, quando você tem a soma ou subtração de duas funções seno, acaba com o produto das funções seno e cosseno. O argumento da primeira função é x + y sobre 2 e o argumento da segunda função é xy sobre 2.

Se tivermos a soma de duas funções seno, nossa primeira função será 2. Se tivermos subtração, nossa primeira função será a função cosseno. Agora, se temos a soma ou subtração de duas funções cosseno, então terminamos com o produto de duas funções seno ou duas funções cosseno. Se tivermos a soma de duas funções cosseno, terminaremos com o produto de duas funções cosseno. Se tivermos a subtração de duas funções cosseno, terminaremos com o negativo do produto de duas funções seno.

Portanto, se você tiver a soma de duas funções, seu primeiro termo será sempre igual às funções que você está adicionando ou subtraindo. Pense no sinal de mais como algo que diz: ‘Sim, tenho certeza de que essas funções estão em primeiro lugar.’ Pare um pouco e veja se consegue identificar outros padrões.

Usos e aplicações

Lembrar dessas identidades o ajudará quando você precisar resolver problemas de trigonometria. Você usará essas identidades para ajudá-lo a simplificar problemas de trigonometria mais complicados e para provar outras instruções de trigonometria. Em matemática avançada, como cálculo, essas identidades ajudam a resolver problemas integrais complicados. Você está pronto para dar uma olhada em alguns exemplos? OK, vamos lá.

Exemplo 1

Nosso primeiro exemplo quer que reescrevamos sin (35) – sin (15) usando a multiplicação. Como podemos fazer isso? Podemos fazer isso fazendo uso de nossas identidades. Examinamos nossa lista e vemos que nosso problema corresponde à segunda identidade. Podemos usar essa identidade para nos ajudar a reescrever nossa subtração de duas funções seno em termos de multiplicação. Seguimos nossa identidade, adicionando nossos dois ângulos e então subtraindo nossos dois ângulos antes de dividir por 2. Recebemos 2 cos (25) sin (10) para nossa resposta.

soma de identidades

Esse não foi tão ruim. Vê como memorizar essas identidades torna esses problemas muito mais fáceis? Você teria detectado essa identidade a um quilômetro de distância. Basta olhar para o problema e você o reconhecerá imediatamente como um problema que envolve essa identidade.

Exemplo 2

Nosso segundo problema nos pede para provar esta declaração trigonométrica:

soma de identidades

Quando provamos uma afirmação específica, escolhemos o lado mais difícil e tentamos simplificá-lo para que se pareça com o outro lado. Em vez de trabalhar com os dois lados, trabalhamos apenas com um lado, deixando o outro igual. Nosso objetivo é tornar os lados iguais uns aos outros.

Para o nosso problema, os dois lados parecem igualmente difíceis. Então, vamos escolher um lado aleatório. Vamos escolher o lado esquerdo. OK. Portanto, queremos virar o lado esquerdo para o lado direito. Podemos fazer isso substituindo em nossas identidades de soma para produto. Vemos que podemos reescrever nosso lado esquerdo como (1/2) (cos ( x ) + cos ( y )). Quando o reescrevemos assim, vemos que podemos substituir a soma de nossos cossenos por sua declaração equivalente que usa multiplicação. Substituindo isso, temos o seguinte:

soma de identidades

Podemos simplificar essa afirmação cancelando a metade com 2. O que nos resta? Ora, nosso lado direito! Conseguimos! Como esse problema está nos pedindo para provar a afirmação, nossa resposta completa deve incluir todos os passos que demos para ir do lado esquerdo para o lado direito. Nossa resposta completa é a seguinte:

soma de identidades

Resumo da lição

Vamos revisar o que aprendemos agora. Aprendemos que nossas identidades de soma para produto são as verdadeiras declarações de trigonometria que dizem como transformar a soma ou subtração de duas funções de trigonometria no produto de duas funções de trigonometria. Temos um total de quatro dessas identidades. Todos eles envolvem apenas as funções cosseno e seno.


Identidades de soma para produto
soma de identidades

Usamos essas identidades para nos ajudar a simplificar problemas trigonométricos mais complicados e também para provar outras instruções trigonométricas. Essas identidades também são usadas em matemática avançada, como cálculo, para ajudar a resolver problemas integrais complexos.

Resultados de Aprendizagem

Você deve ser capaz de fazer o seguinte após esta lição:

  • Identifique as quatro identidades trigonométricas soma-para-produto
  • Explique como usar essas identidades para resolver problemas complexos e provar outras instruções trigonométricas