Identidade de Euler
A identidade de Euler é a famosa equação matemática e ^ ( i * pi) + 1 = 0 onde e é o número de Euler, aproximadamente igual a 2,71828, i é o número imaginário onde i ^ 2 = -1 e pi é a proporção de um círculo circunferência ao diâmetro do círculo aproximadamente igual a 3,14. Seu nome é uma homenagem a Leonhard Euler, um matemático suíço que descobriu essa fórmula em 1700.
Por que vale a pena lembrar disso? Vale a pena lembrar porque é a única equação que simplesmente liga as constantes matemáticas de pi, i e e junto com 0 e 1.
Por que a identidade de Euler é importante?
Os matemáticos amam a identidade de Euler porque ela é considerada uma beleza matemática, pois combina cinco constantes de matemática e três operações matemáticas, cada uma ocorrendo apenas uma vez. As três operações que ele contém são exponenciação, multiplicação e adição. As cinco constantes que essa equação combina são o número 0, o número 1, o número pi, o número ee o número i .
Conhecemos os números 0 e 1. Lembramos que o número pi é aproximadamente 3,14 e continua para sempre. O número e , como o número pi, continua para sempre e é aproximadamente 2,71828. O número i é nosso número imaginário onde i ^ 2 é igual a -1.
Por que isso é tão bonito para os matemáticos? É uma beleza porque é uma equação tão simples que mostra a relação de tantas constantes da matemática. Você consegue pensar em outras equações que são tão simples e que relacionam o mesmo número de constantes?
Fórmula de Euler
A identidade de Euler é na verdade um caso especial da fórmula de Euler , e ^ ( i * x ) = cos x + i sen x , quando x é igual a pi. Quando x é igual a pi, o cosseno de pi é igual a -1 e o seno de pi é igual a 0, e obtemos e ^ ( i * pi) = -1 + 0 i . A parte imaginária 0 vai embora e obtemos e ^ ( i * pi) = -1. Mover -1 para o outro lado adicionando nos dá a identidade de Euler. Olhando para a fórmula de Euler, e ^ ( i * x ) = cos x+ i sen x , vemos que e levado a uma potência imaginária é igual a um número complexo consistindo de uma parte real (a parte cosseno) e uma parte imaginária (a parte seno).
Eu tenho que alertá-lo quando você usar esta fórmula. Você pode ficar tentado a usar graus para ax ao calcular o cosseno e o seno, mas esta fórmula usa radianos. Os radianos são uma forma diferente de medir ângulos. Portanto, ao usar sua calculadora para resolver problemas, certifique-se de que ela esteja configurada para fazer cálculos em radianos e não em graus.
Outra coisa a se notar aqui é que às vezes os matemáticos abreviam cos x + i sen x como cis x , então você pode ver a fórmula de Euler escrita como e ^ ( i * x ) = cis x .
Um exemplo
Como usamos a identidade de Euler e a fórmula de Euler? Usamos a identidade de Euler para mostrar como as constantes e , pi e i estão relacionadas. A fórmula de Euler é usada para nos ajudar a calcular e elevado a uma potência imaginária. Vamos ver como calculamos um número de amostra.
Vamos usar a fórmula de Euler para nos ajudar a calcular e ^ ( i * 2). Olhando para o que queremos calcular, vemos que o 2 está no lugar de nosso x , de modo que nos diz para substituir ax em nosso cosseno e seno por 2.
e ^ ( i * 2) = cos 2 + i sen 2
Agora, precisamos calcular qual cosseno de 2 e seno de 2 são iguais. Voltamos para nossa calculadora e lembramos de mudar nossos cálculos para radianos. Conectando cosseno de 2 em radianos, obtemos -0,416. Seno de 2 nos dá 0,909.
e ^ ( i * 2) = -0,416 + 0,909 i
Agora que calculei por seno e cosseno, escrevo em formato de número complexo com a parte real primeiro seguida pela parte imaginária. A parte imaginária tem o i seguindo o valor. É por isso que escrevi i após 0,909. Quando chegarmos a este ponto, terminamos.
Como vimos, usar a fórmula de Euler é bastante direto. Vale a pena memorizar essa fórmula, assim como a identidade de Euler.
Resumo da lição
Então, o que aprendemos? Aprendemos que a identidade de Euler é e ^ ( i * pi) + 1 = 0 onde e é o número de Euler aproximadamente igual a 2,71828, i é o número imaginário onde i ^ 2 = -1, e pi é a razão de um círculo circunferência ao diâmetro do círculo aproximadamente igual a 3,14. Batizada com o nome do matemático suíço Leonhard Euler, a identidade de Euler é o caso especial da fórmula de Euler , e ^ ( i * x ) = cos x + i sen x , quando x é igual a pi. Quando xé igual a pi, a equação nos diz que e ^ ( i * pi) = -1. Movendo o -1, obtemos a identidade de Euler.
Ao usar esta equação, certificamo-nos de que todos os nossos cálculos são realizados em radianos e não em graus. Os radianos são simplesmente outra maneira de medir ângulos.
Os matemáticos chamam a identidade de Euler de uma beleza matemática porque inclui cinco constantes matemáticas (0, 1, e , i e pi) exatamente uma vez e também usa adição, exponenciação e multiplicação exatamente uma vez. É lindo em sua simplicidade e abrangência, tudo ao mesmo tempo. Usar a fórmula de Euler produz um número complexo com uma parte real (a parte do cosseno) e uma parte imaginária (a parte do seno).
Resultados de Aprendizagem
Assista a esta vídeo aula enquanto busca estes objetivos:
- Declare e utilize a identidade de Euler e a fórmula de Euler
- Relate a importância da identidade de Euler
- Cite as três operações e cinco constantes contidas na identidade de Euler
- Lembre-se de que você às vezes verá os fórmulas de Euler escritos como e ^ ( i * x ) = cis x