Identidade de Duas Expressões Quadráticas
Imagine que você e seu parceiro de laboratório devam criar um pôster para apresentar seu experimento de química mais recente. O quadro do pôster tem 22 polegadas por 28 polegadas e você deseja incluir uma borda contendo algumas informações impressas. Como você não sabe a largura da borda, você chama a largura da borda de x . Agora, dependendo do que é x , você precisa saber a área disponível para impressão.
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A área em questão é o retângulo menor dentro da borda. Este retângulo tem uma largura de 28 – xe uma altura de 22 – x . Portanto, a área é: (28 – x ) (22 – x ).
Seu parceiro de laboratório, entretanto, insiste que a área do retângulo imprimível é x² – 50 x + 616. Seu parceiro de laboratório está errado? Você está errado? Na verdade, vocês dois estão corretos – vocês apenas expressaram a área de maneiras diferentes.
Formas de Expressões Quadráticas
Uma expressão quadrática é qualquer expressão que pode ser escrita na forma a x² + b x + c, onde a, b e c são números e x é uma variável. Poderíamos usar qualquer letra como nossa variável, mas vamos ficar com x por enquanto.
Basicamente, uma expressão quadrática é aquela que tem um x² e nenhuma potência maior de x , embora você possa precisar realizar alguma multiplicação para realmente » ver » o x² . A forma a x² + b x + c é tão importante que os matemáticos a chamam de forma padrão de uma expressão quadrática.
Aqui estão alguns exemplos de expressões quadráticas na forma padrão:
- 2 x ² – 5 x + 12 (a = 2, b = -5, c = 12)
- – x ² + 3 x (a = -1, b = 3, c = 0)
-
x ² – 100 (a = 1, b = 0, c = -100)
Observe que quando b ou c é 0, um termo está faltando. Por exemplo, x ² – 100 também pode ser escrito como x ² + 0x – 100.
Existem muitas maneiras de escrever expressões quadráticas em formas não padronizadas. Aqui estão alguns exemplos:
- ( x – 2) (3 x + 4) (forma fatorada)
- 3 ( x – 4) ² + 8 (forma de vértice)
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x (4 – x ) + 8
- ( x – 1) ( x + 1) + x (3 x – 2) – x ² + 4
Expressões quadráticas equivalentes
Dizemos que duas expressões quadráticas são iguais, idênticas ou equivalentes se derem o mesmo valor, não importa o número inserido para x . A maneira mais fácil de determinar se duas expressões quadráticas são equivalentes é escrever cada uma delas na forma padrão e ver se elas correspondem ou não. Essa comparação funciona porque a forma padrão de uma expressão quadrática é única.
Exemplo Um
Problema: x ( x – 3) + 4 e ( x + 1) ( x – 4) são iguais?
Vamos escrever cada expressão na forma padrão, multiplicando e combinando termos semelhantes.
Na primeira expressão, devemos distribuir o x para obter:
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x ( x – 3) + 4
-
x ² – 3 x + 4
A segunda expressão exige que usemos o método FOIL (primeiro, externo, interno, último) e combinemos termos semelhantes:
- ( x + 1) ( x – 4)
-
x ² – 4 x + x – 4
-
x ² – 3 x – 4
Como a primeira expressão termina com +4 e a segunda expressão termina com -4, as expressões não são iguais.
Exemplo Dois
Problema: ( x – 5) (3 x – 6) e 5 (3 x ² – 4 x – 2) – 4 (3 x ² + x – 10) + 3 x equivalentes?
Novamente, vamos multiplicar cada expressão para escrevê-la na forma padrão.
Usar o método FOIL com a primeira expressão nos dá:
- ( x – 5) (3 x – 6)
- 3 x ² – 6 x -15 x + 30
- 3 x ² – 21 x + 30
A segunda expressão é mais complicada. Devemos distribuir o 5 no primeiro conjunto de parênteses e o -4 no segundo conjunto e, em seguida, combinar termos semelhantes:
- 5 (3 x ² – 4 x – 2) – 4 (3 x ² + x – 10) + 3 x
- 15 x ² – 20 x – 10 – 12 x ² – 4 x + 40 + 3 x
- 3 x ² – 21 x + 30
Como as duas expressões na forma padrão correspondem, as expressões originais são iguais.
Resumo da lição
Uma expressão quadrática é uma expressão que pode ser escrita na forma a x² + b x + c, onde a, b e c são números e x é uma variável; isso é conhecido como o formulário padrão . Duas expressões quadráticas são equivalentes se as formas padrão das expressões corresponderem. Para escrever uma expressão na forma padrão, você deve realizar todas as multiplicações necessárias e usar o método FOIL para combinar quaisquer termos semelhantes.