Funções especiais em matemática
No ensino médio ou na faculdade, muitas vezes aprendemos sobre funções especiais chamadas logaritmos e expoentes. Como parte do aprendizado sobre essas funções, aprendemos as leis de expoentes e propriedades de logaritmo como o seguinte:
2 b + c = 2 b · 2 c
e
log ( x · y ) = log ( x ) + log ( y ).
Para ambas as funções, uma operação entre duas entradas da função resultou em uma operação entre as duas saídas dessas funções. Essa preservação das operações significa que tanto os expoentes quanto os logaritmos são funções especiais chamadas de homomorfismos de grupo.
O que é homomorfismo de grupo?
Antes de começar e definir um homomorfismo de grupo, lembre-se de que frequentemente representamos um grupo usando a notação ( G , ∗), onde G é o conjunto e ∗ é a operação. Portanto, por exemplo, ( R , +) é o grupo de números reais somados. Às vezes, se a operação for conhecido ou claro a partir do contexto, vamos abreviar por apenas chamando o grupo G . Por exemplo, quando falamos sobre o grupo de inteiros sob adição, geralmente escrevemos apenas Z, já que os inteiros não formam um grupo em nenhuma das outras operações básicas.
Um homomorphism grupo (muitas vezes chamado apenas uma homomorphism para abreviar) é uma função ƒ a partir de um grupo ( G , *) a um grupo ( H , ◊) com a propriedade especial de que para um e b em L ,
ƒ ( a ∗ b ) = ƒ ( a ) ◊ ƒ ( b )
Vejamos alguns exemplos para ajudar a tornar isso mais claro. Primeiro, vamos voltar ao primeiro exemplo. A função ƒ ( x ) = 2 x pode ser considerada uma função de ( R , +) a ( R + , ·), onde R + é o conjunto de todos os números reais positivos. Podemos dizer que é um homomorfismo, pois:
ƒ ( b + c ) = 2 b + c = 2 b · 2 c = ƒ ( b ) · ƒ ( c ).
Outro homomorfismo que pode ser familiar é a aplicação φ de Z a Z 7 (o grupo de inteiros módulo 7 sob adição) dado por φ ( x ) = [ x ], onde [ x ] representa x mod 7. Lembre-se de que x mod 7 é a distância de x de um múltiplo de 7. Assim, por exemplo, 65 é 2 mais do que 63 (que é 7 · 9), o que significa que 65 mod 7 pode ser representado por [2]. Podemos ver que isso é um homomorfismo, pois sabemos da aritmética modular que
φ ( x + y ) = [ x + y ] = [ x ] + [ y ] = φ ( x ) + φ ( y ).
Determinando um Homomorfismo
Um problema comum ao trabalhar com álgebra abstrata é determinar se uma determinada função é um homomorfismo. Para determinar se uma função é um homomorfismo, simplesmente precisamos verificar se a função preserva a operação. Em outras palavras, precisamos ter certeza de que para uma função ƒ de um grupo ( G , ∗) para um grupo ( H , ◊) que
ƒ ( a ∗ b ) = ƒ ( a ) ◊ ƒ ( b )
é verdade para todos um e b em G . Freqüentemente, não podemos verificar todos os pares de elementos em G (uma vez que pode ser infinitamente grande). Portanto, verificamos se a propriedade acima é válida para a e b arbitrários .
Por exemplo, vamos determinar se a função ƒ de ( R , +) a ( R , +) dada por ƒ ( x ) = 5 x é um homomorfismo. Uma vez que existe uma quantidade infinita de números reais, nós vamos usar x e y para representar números reais arbitrários. Vamos ver se conseguimos fazer a propriedade homomorfismo funcionar.
ƒ ( x + y ) = 5 ( x + y ) = 5 x + 5 y = ƒ ( x ) + ƒ ( y ).
Funcionou! Portanto, ƒ é, de fato, um homomorfismo.
Vamos testar outra função. Suponha que g seja uma função de ( R , +) a ( R , +) dada por g ( x ) = x ². Vamos ver se ele se encaixa na propriedade de homomorfismo.
g ( x + y ) = ( x + y ) ² = x² + 2 xy + y² = g ( x ) + 2 xy + g ( y ).
Ups! Isso significa que g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y ) somente se 2 xy = 0, algo que nem sempre acontece. Portanto, g não é um homomorfismo.
Por que os homomorfismos são úteis?
Os homomorfismos são úteis porque nos permitem realizar operações após aplicar uma função, o que significa que podemos realizar um cálculo mais simples. Tome, por exemplo, o homomorfismo φ de Z a Z 7 discutido anteriormente. Isso pode ser usado para ajudar a determinar o dia da semana no futuro, usando cálculos simples.
Suponha que hoje seja terça-feira e você tenha uma consulta médica em 100 dias. Você precisa saber o dia da semana da consulta para ter certeza de que pode sair do trabalho, porque alguns dias da semana são mais fáceis de perder do que outros. Você pode obter um calendário e contar 100 dias no futuro, ou pode perceber que, como os dias da semana se repetem a cada 7 dias, podemos representar cada dia da semana com um módulo inteiro 7. Vamos usar 0 para domingo, 1 para segunda-feira, 2 para terça-feira, etc. Precisamos determinar o que 2 + 100 é o mod 7. Podemos fazer essa adição e depois converter, ou podemos reduzir 100 o mod 7 primeiro. Uma vez que 100 é 2 mais do que 98 (que é 7,14), 100 é reduzido para 2 mod 7. Isso nos dá 2 + 2 = 4, o que significa que o compromisso será em uma quinta-feira.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos sobre a função especial conhecida como homomorfismo. Precisamos primeiro lembrar que um homomorfismo de grupo é uma função entre dois grupos que mapeia uma operação entre entradas para uma operação entre saídas. Podemos determinar se uma função é um homomorfismo verificando se quaisquer dois elementos se ajustam à propriedade do homomorfismo. Esses homomorfismos são úteis porque às vezes podem tornar mais fáceis cálculos difíceis, como determinar um futuro dia da semana.