Quadrados, retângulos e hipérboles retangulares
Você já ouviu a frase que um quadrado é um retângulo, mas um retângulo nem sempre é um quadrado? Isso porque um quadrado é um tipo especial de retângulo e nem todos os retângulos são especiais o suficiente para serem quadrados. Da mesma forma, uma hipérbole retangular é uma hipérbole, mas uma hipérbole nem sempre é uma hipérbole retangular.
Como um lembrete, as hipérboles são um tipo especial de figura que foi usado antes da invenção do GPS para ajudar navios e aviões a navegar longas distâncias. As estações de rádio enviariam sinais de rádio e os sistemas a bordo de aviões e navios usariam os sinais de rádio para gerar uma hipérbole que lhes permitiria determinar suas posições.
Hipérboles retangulares
Lembre-se de que uma hipérbole tem duas assíntotas que se cruzam no centro da hipérbole. Se essas duas assíntotas forem perpendiculares, dizemos que a hipérbole é retangular . As hipérboles desta forma são representadas por equações do seguinte tipo.
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Os gráficos dessas hipérboles retangulares se parecem com o seguinte:
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Talvez neste momento, você esteja pensando, » As hipérboles que estou acostumado a ter equações como
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e gráficos como este: »
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» O que está acontecendo aqui? » O que está acontecendo é que nós dois estamos certos. Embora a hipérbole retangular mostrada acima se abra diagonalmente, verifica-se que, por meio de uma mudança de coordenadas, podemos mostrar que essas hipérboles retangulares diagonais são meramente as hipérboles que se abrem horizontalmente com referência a diferentes eixos. Na verdade, eles são todos hipérboles da forma:
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ou
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Mudando Coordenadas
Para mostrar que essas hipérboles retangulares têm a forma que desejamos, primeiro precisamos descobrir quais serão nossas novas coordenadas. Vamos primeiro supor que temos alguma hipérbole retangular da forma
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Para fazer essa hipérbole abrir horizontalmente, precisamos girá-la 45 graus no sentido horário em torno da origem. Usando algumas álgebra linear, podemos descobrir que as nossas novas coordenadas, que chamaremos de u e v , são determinados pelas seguintes equações.
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Por causa disso, obtemos o seguinte resultado.
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Isso nos diz que nossa hipérbole retangular original de abertura diagonal é uma rotação de uma hipérbole de abertura horizontal da forma
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Representação gráfica de hipérboles retangulares
Usando nosso conhecimento de hipérboles em geral, podemos agora representar graficamente uma hipérbole retangular da forma
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Ao representar graficamente esta hipérbole, traçaremos os vértices, os focos, as directrizes e as assíntotas. Uma vez que podemos reescrever a equação acima como
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sabemos que os vértices da hipérbole acima estarão em ( a , 0) e (- a , 0), já que 2 a é o comprimento do eixo maior da hipérbole. Como o comprimento do eixo menor também é 2 a , podemos encontrar c , o comprimento focal, como segue.
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Assim, os focos estão em (√2a, 0) e (-√2a, 0). Em seguida, para encontrar as diretivas, lembre-se de que as diretivas são encontradas em
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Assim, para uma hipérbole retangular, podemos determinar o seguinte.
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Finalmente, para encontrar as assíntotas, lembramos que as inclinações das assíntotas são ± b / a , onde a é a metade do comprimento do eixo maior eb a metade do comprimento do eixo menor. Como b = a para uma hipérbole retangular, as inclinações são ± 1. Assim, as assíntotas são ± 1. Podemos plotar os vértices, focos, diretrizes e assíntotas e um plano de coordenadas e, em seguida, usá-los para nos ajudar a plotar a própria hipérbole, como no gráfico abaixo.
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Resumo da lição
Lembre-se de que uma hipérbole retangular é uma hipérbole cujas assíntotas são perpendiculares. As hipérboles deste tipo têm equações como as seguintes:
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Usando uma mudança de coordenadas, descobrimos que as hipérboles cujas equações são da forma
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também são retangulares. Podemos então usar nosso conhecimento de como representar graficamente hipérboles para representar graficamente os vértices, focos, diretrizes e assíntotas de hipérboles retangulares, permitindo-nos traçar hipérboles retangulares.