Uma Função Racional
Conforme você avança em sua matemática, você se depara com funções racionais , funções compostas de um polinômio dividido por outro polinômio, com cada vez mais frequência. Esta lição o ajudará a analisar essas funções racionais. Você descobrirá que essas habilidades são essenciais à medida que continuar seu aprendizado de matemática.
Então, por agora, imagine que você está explicando como representar graficamente uma função racional para um amigo. A função racional que você tem na sua frente é esta:
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Você diz a seu amigo que ele não precisa se preocupar. Pode parecer difícil, mas com o que você vai dizer a ele, ele será capaz de representar graficamente essa função racional sem problemas. Você diz a ele que vai lhe dizer como separar essa função racional em partes que lhe darão pistas sobre o gráfico.
Analisando Assíntotas Verticais
Você começa contando a ele sobre as assíntotas verticais , as linhas verticais das quais o gráfico se aproxima. Você diz a ele que o gráfico se aproxima dessas linhas, mas nunca as toca. A maneira de descobrir onde essas linhas verticais estão é definir o denominador como 0 e resolver o denominador. Veja, se o denominador for 0, então você terá um problema de divisão por 0, algo que é impossível em matemática. Por ser impossível em matemática, também é impossível representar graficamente.
Portanto, definindo seu denominador como 0 e resolvendo para x , você descobre que x = 1 quando seu denominador é igual a 0. Resolvendo x – 1 = 0 para x resulta em x = 1. Então, x = 1 é sua assíntota vertical. Esta função racional particular tem apenas uma assíntota vertical. Mas é possível ter mais de uma assíntota vertical. Não há limite para o número de assíntotas verticais que você pode ter. Como x = 1 é uma assíntota vertical, diga a seu amigo para desenhar uma linha tracejada vertical para representar isso no gráfico.
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Como há apenas uma assíntota vertical, você diz a seu amigo que agora pode passar para a próxima parte.
Analisando Assíntotas Horizontais
A próxima parte envolve assíntotas horizontais , as linhas horizontais das quais o gráfico se aproxima. Você diz ao seu amigo que esse processo ainda é simples, mas é um pouco diferente. Para encontrar assíntotas horizontais, você precisa olhar o grau ou o expoente mais alto dos dois polinômios. Se o grau do polinômio do denominador for maior do que o grau do polinômio do numerador, a assíntota horizontal estará em y = 0. Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal será encontrada dividindo-se os coeficientes iniciais.
Há um outro cenário fora do escopo desta lição que não é coberto aqui, e é quando o grau do numerador é maior do que o grau do denominador na função racional. Isso resulta no que é chamado de assíntota inclinada. Para esta lição, você não terá que se preocupar com isso, e será abordado em outra lição.
No caso do nosso exemplo atual, os graus são iguais, então você deve dividir os coeficientes principais. No polinômio do numerador, o coeficiente líder é 4. No polinômio denominador, o coeficiente líder é 1. Dividindo esses dois, você obtém y = 4/1 = 4 como sua assíntota horizontal. Assim como com a assíntota vertical, você diz a seu amigo para desenhar uma linha tracejada para marcar essa assíntota horizontal.
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Agora que você cobriu as assíntotas verticais e horizontais, diga a seu amigo que agora está pronto para representar graficamente a função.
Representando graficamente
Para terminar, você plota apenas alguns pontos em cada lado de todas as assíntotas verticais. Para encontrar esses pontos, você insere diferentes valores para x na função racional e a avalia. Uma vez que a assíntota vertical está em x = 1, você escolhe x = 0 e x = -5 para descobrir como o gráfico se comporta à esquerda desta assíntota. À direita da assíntota, você escolhe x = 2 e x = 5.
Conectando x = 0, você obtém 0 como resposta. O primeiro ponto está em (0, 0). Conectar x = -5 resulta em 4 * -5 / (-5 – 1) = -20 / -6 = 10/3. O segundo ponto está em (-5, 10/3). Em seguida, em x = 2, a função dá 4 * 2 / (2 – 1) = 8/1 = 8. O terceiro ponto é (2, 8). Em x = 5, a função dá 4 * 5 / (5 – 1) = 20/4 = 5. O quarto ponto é (5, 5). Plotá-los no gráfico e conectar os pontos com uma curva que se aproxima das assíntotas nos dá este gráfico:
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Você diz a seu amigo que o motivo do gráfico ser assim é porque você não pode cruzar a assíntota vertical. É por isso que o gráfico é dividido da maneira que está. Então você diz ao seu amigo que é isso! Você representou graficamente a função racional e agora pode respirar e relaxar. Talvez até vá tomar um sorvete.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. Nesta lição, aprendemos a representar graficamente funções racionais , funções compostas por um polinômio dividido por outro polinômio. Existem três etapas.
O primeiro passo é encontrar as assíntotas verticais , as linhas verticais das quais a função se aproxima. Para encontrá-los, você define o denominador igual a 0 e, em seguida, resolve o denominador. Esses valores x fornecem as assíntotas verticais.
A segunda etapa é encontrar as assíntotas horizontais , as linhas horizontais das quais a função se aproxima. Para encontrar essas linhas, você olha os graus dos polinômios. Se o grau do polinômio do denominador for maior que o grau do polinômio do numerador, a assíntota horizontal será y = 0. Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal será encontrada dividindo-se os coeficientes iniciais.
A terceira etapa é traçar pontos em cada lado de todas as assíntotas verticais para descobrir como o gráfico se comporta em cada um desses intervalos. Em seguida, você desenha uma linha curva que conecta todos os seus pontos e se aproxima de todas as assíntotas. Lembre-se de que você não pode cruzar uma assíntota vertical.
Resultados de Aprendizagem
Após esta vídeo aula, você deverá ser capaz de:
- Defina funções racionais, assíntotas verticais e assíntotas horizontais
- Explique como encontrar as assíntotas verticais e horizontais de funções racionais
- Descreva como realizar a etapa final no gráfico de uma função racional