O que são funções trigonométricas?
As funções trigonométricas são relações matemáticas entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. As três funções trigonométricas primárias são seno, cosseno e tangente.
Por que você precisa conhecer esses relacionamentos? Imagine que há uma árvore em seu quintal e você está preocupado que um dia ela possa cair em sua casa. Você sabe que a base da árvore fica a 50 m da sua casa, mas não sabe se a árvore tem mais de 50 m ou não. As funções trigonométricas podem ajudá-lo!
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Tudo o que você precisa fazer é ficar em seu quintal, medir a distância entre você e a árvore e usar um transferidor para medir o ângulo de sua linha de visão até o topo da árvore. Usando apenas essas duas medidas, você pode calcular a altura da árvore e saber se sua casa é segura.
Calculando Funções Trig
Vamos dar uma olhada em cada uma das funções trigonométricas e ver como ela é calculada.
Para calcular o seno de um ângulo em um triângulo retângulo, você sempre divide o comprimento do lado oposto ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do ângulo. Seno é geralmente abreviado como pecado em declarações matemáticas e calculadoras.
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Cosseno , normalmente abreviado como cos : para calcular, divida o comprimento do lado adjacente ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo.
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Finalmente, para calcular a tangente de um ângulo, divida o comprimento do lado oposto ao ângulo pelo lado adjacente ao ângulo. Tangente, abreviado tan , é a única das três funções trigonométricas que não envolve a hipotenusa do triângulo.
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Para lembrar como calcular as três funções trigonométricas, pense na sigla SOH CAH TOA :
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Problemas de exemplo
Exemplo 1 : vamos primeiro tentar encontrar o seno, cosseno e tangente do ângulo B no triângulo retângulo mostrado aqui:
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Para encontrar o seno do ângulo B, olhe para a hipotenusa e o lado oposto ao ângulo:
sin B = oposto / hipotenusa = 6/10
Você pode simplificar esta resposta como uma fração ou um número decimal:
sin B = 3/5 ou sin B = 0,6
Para encontrar o cosseno do ângulo B, olhe para o lado adjacente ou próximo ao ângulo B:
cos B = adjacente / hipotenusa = 8/10
cos B = 4/5 ou cos B = 0,8
Para encontrar a tangente do ângulo B, divida o comprimento do lado oposto pelo comprimento do lado adjacente:
tan B = oposto / adjacente = 6/8
tan B = 3/4 ou tan B = 0,75
Exemplo 2 : As funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente também podem ajudá-lo a encontrar os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Vejamos como encontrar o lado que falta neste triângulo:
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Neste triângulo, conhecemos o ângulo (45 graus) e o lado oposto ao ângulo (6), mas não conhecemos a hipotenusa. Qual função trigonométrica inclui o lado oposto e a hipotenusa?
Você adivinhou o seno? Está certo!
sin = oposto / hipotenusa
Então, para resolver para a hipotenusa (marcada com x), escreveríamos:
sin (45) = 6 / x
Você pode então resolver esta equação para x, o que dá:
x = 6 / sin (45)
Para encontrar o seno de 45 graus, você pode usar o botão sin que você encontrará em muitas calculadoras. Como alternativa, você pode pesquisar online ou em um livro de geometria por uma tabela de trigonometria, que lista as funções dos ângulos.
Ao usar uma calculadora para encontrar o seno, cosseno ou tangente de um ângulo, tome muito cuidado para que sua calculadora esteja no modo correto. Algumas calculadoras permitem calcular funções trigonométricas usando ângulos medidos em radianos ou graus, portanto, você deseja ter certeza de que o seu está configurado para usar graus para esse problema.
Quer decida usar uma calculadora ou uma mesa, você descobrirá que o seno de 45 graus é 0,7071, então agora você pode calcular x.
x = 6 / 0,7071
x = 8,5
Problema de árvore
Agora que sabemos como usar as funções trigonométricas, vamos rever o problema da árvore que pode cair na sua casa. Suponha que você mede que está a 20 m da árvore e que sua linha de visão até o topo da árvore forma um ângulo de 53 graus com o solo. Quão alta é a árvore?
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Nesse caso, podemos usar a função tangente para encontrar a altura da árvore.
tan 53 = h / 20
h = 20 * tan 53
h = 20 * 1,3270
h = 26,5 m
Portanto, a árvore tem apenas 26,5 m de altura. Você pode dormir melhor à noite sabendo que não atingirá sua casa se cair!
Resumo da lição
As três funções trigonométricas primárias são seno, cosseno e tangente. Essas funções relacionam os ângulos de um triângulo retângulo aos comprimentos dos lados do triângulo. Eles podem ser calculados da seguinte forma:
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