Funções das raízes de uma equação quadrática
Vamos dizer que nós temos x 1 e x 2 , e eles são as raízes da equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0). As expressões da forma x 1 + x 2 , x 1 2 + x 2 2 , x 1 2 – x 2 2 , 1 / x 1 2 + 1 / x 2 2 e assim por diante são conhecidas como funções das raízes x1 e x 2 .
Encontrando as raízes de um quadrático
Então, como encontramos as raízes de uma equação quadrática? Precisamos aplicar nosso conhecimento de resolução de qualquer equação quadrática.
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Funções Simétricas
Agora, vamos explorar como determinar se as raízes de uma quadrática podem formar uma função simétrica ou não.
Se a função que usa as raízes do quadrático f ( x 1 , x 2 ) não muda na troca de x 1 e x 2 , então a função, f , é simétrica . Em outras palavras, uma expressão em x 1 e x 2 , que continua a ser o mesmo quando x 1 e x 2 são trocados, é chamada uma função simétrica em x 1 e x 2 .
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Para uma equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, (a <> 0) com raízes x 1 e x 2 , temos ambos:
- x 1 + x 2 = – b / a
- x 1 * x 2 = c / a
Essas duas propriedades são usadas para formular funções simétricas das raízes de uma equação quadrática. Ao formular essas funções simétricas, nós expressá-los em termos de x 1 + x 2 e x 1 * x 2 .
As funções simétricas de raízes quadráticas incluem as sete seguintes:
- Fórmula (i): x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 2 x 1 x 2
- Fórmula (ii): ( x 1 – x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 4 x 1 x 2
- Fórmula (iii): x 1 2 – x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) = ( x 1 + x 2 ) (( x 1 + x 2 ) 2 – 4 x 1 x 2 ) 0,5
- Fórmula (iv): x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) 3 – 3 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )
- Fórmula (v): x 1 3 – x 2 3 = ( x 1 – x 2 ) ( x 1 2 + x 1 x 2 + x 2 2 )
- Fórmula (vi): x 1 4 + x 2 4 = ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2 x 1 2 x 2 2
- Fórmula (vii): x 1 4 – x 2 4 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) ( x 1 2 + x 2 2 ) = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) (( x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2 x 1 x 2 )
Prática
Para uma equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0) com raízes x 1 e x 2 , determine os valores das seguintes expressões em termos de a , b e c .
- 1 / x 1 + 1 / x 2
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- 1 / x 1 2 + 1 / x 2 2
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Resumo da lição
Esta lição demonstrou as funções simétricas das raízes de uma equação quadrática. Sete fórmulas simétricas foram apresentadas em termos das raízes de uma equação quadrática. Para uma equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0) com raízes x 1 e x 2 , as funções simétricas são baseadas nas duas propriedades a seguir das raízes de uma equação quadrática:
- x 1 + x 2 = – b / a
- x 1 * x 2 = c / a
Quando dada uma função simétrica das raízes de uma quadrática, transformar essa função usando as fórmulas simétricas sete em uma forma que é uma combinação de somas e produtos de x 1 + x 2 e x 1 * x 2 , bem como os montantes e produtos de potências de x 1 e x 2 . Feito isso, a função simétrica pode ser reformulada em termos de a , b e c .