Quadráticas
Imagine que você está em uma piscina com um macarrão de piscina, que é um longo dispositivo de flutuação cilíndrico. Agora imagine pegar esse macarrão e dobrá-lo na forma de uma parábola. Você pode orientar esta parábola de macarrão de piscina de muitas maneiras diferentes, que podem ser comparadas a como as parábolas em planos de coordenadas xy podem ser orientadas. A forma como a parábola é orientada determina se é uma função quadrática definida ou indefinida.
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Primeiro, vamos revisar alguns princípios básicos relacionados às funções quadráticas e, em seguida, passaremos pelas diferentes funções quadráticas usando nosso pool noodle como modelo.
Forma geral de uma função quadrática
A forma geral de uma equação quadrática é
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A um valor na equação da parábola nos diz qual o caminho a parábola abre. Se a for positivo, a parábola se abre para cima e, se for negativa, ela se abre para baixo. Agora vamos determinar uma maneira de saber se a parábola apenas toca, cruza ou nunca entra em contato com o eixo x.
Discriminante
Podemos usar o discriminante da parábola para determinar como a parábola interage com o eixo x. O discriminante é a equação
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O a , b e c são em referência à fórmula geral da equação quadrática. Se o discriminante D for
- menor que zero a parábola não cruza o eixo x
- igual a zero, a parábola toca o eixo x em um local
- maior que zero, cada lado da parábola cruza o eixo x
Usaremos o discriminante para determinar se um quadrático é definido ou indefinido. Vamos voltar para a piscina com nosso macarrão de piscina.
Funções Quadráticas Definidas
Positivo definitivo
Usaremos a superfície da água como eixo x. Segure a parábola na vertical para que ela se abra para cima com seu vértice , que é o ponto mais baixo da parábola, acima da superfície da água. Como nenhuma parte da parábola do macarrão da piscina toca a superfície da água (eixo x), é chamada de quadrática definida . Se D for negativo, a parábola não cruza o eixo x.
Desde a nossa piscina de macarrão de parábola abre para cima sua um -valor deve ser positivo. Isso torna nossa parábola-macarrão-piscina positiva definitiva. Vejamos uma equação para uma parábola que é definida positiva.
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A um prazo é 2, que é significado positivo que abre para cima. O discriminante é:
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Como o discriminante é negativo, a parábola não cruza o eixo x e se parece com:
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Agora vamos fazer uma parábola de macarrão de piscina definida negativa.
Definido Negativo
Agora vire a parábola de cabeça para baixo, com o vértice sendo seu ponto mais alto, e segure-a abaixo da superfície da água. Uma vez que a parábola do macarrão da piscina não toca ou atravessa a superfície da água, ela ainda é uma quadrática definida. Uma vez que se abre para baixo, é definido de forma negativa. Vejamos a equação de uma parábola definida negativa.
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A um prazo é negativo significa a parábola abre para baixo para valores y negativos. O discriminante é:
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Uma vez que a parábola abre para baixo e D é negativo, a parábola é definida negativa e se parece com:
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Não há outros tipos de quadráticas definidas, então vamos examinar as quadráticas indefinidas.
Quadráticos indefinidos
Se a função parabólica tocar ou cruzar o eixo x, ela é indefinida . Podemos modelar os quatro tipos de quadráticas indefinidas com nosso macarrão de piscina.
Indefinido Positivo
Vamos pegar nosso macarrão de piscina e colocá-lo de volta na posição vertical com o vértice no fundo, mas abaixo da superfície da água. A parábola abre para cima de modo a um -valor é positivo. O macarrão rompe a superfície da água em dois locais diferentes, o que é uma analogia para uma quadrática indefinida. O discriminante, neste caso, é maior que zero. Portanto, essa orientação é chamada de indefinida positiva. Um exemplo de uma quadrática indefinida positiva é:
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Seu discriminante é:
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e seu gráfico se parece com:
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Se elevarmos o macarrão da piscina de modo que seu vértice esteja apenas tocando a superfície da água, ele ainda será indefinido, mas seu discriminante será igual a zero. Um exemplo disso é:
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Seu discriminante é:
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e o gráfico se parece com:
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As próximas duas quadráticas indefinidas são indefinidas negativas.
Indefinido Negativo
Para as próximas duas quadráticas indefinidas, viramos o pool noodle de cabeça para baixo de forma que seu vértice seja seu ponto mais alto. Se o vértice apenas tocar a superfície da água com ambos os lados indo para baixo da água, a parábola é indefinida negativa e seu discriminante é igual a zero. Um exemplo de uma quadrática indefinida negativa é:
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O discriminante é:
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e o gráfico da função se parece com:
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Se elevarmos o vértice acima da superfície da água, os dois lados do macarrão da piscina cruzam a superfície da água, o que o torna negativo indefinido e seu discriminante é maior que zero. Um exemplo disso é:
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Calculando o discriminante, obtemos:
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O gráfico desta quadrática é:
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Agora que passamos por todos os tipos de quadráticas definidas e indefinidas, vamos combinar todas as suas características em um gráfico.
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Resumo da lição
Uma função quadrática tem a forma geral
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Se a for positivo, a parábola abre para cima e se for negativo, abre para baixo. O discriminante de um quadrático pode ser calculado usando a equação:
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Se D for negativo, a parábola não toca ou cruza o eixo x. Se D for zero, a parábola toca o eixo x em apenas um local. Se D for positivo, ambos os lados do vértice cruzam o eixo x.
As quadráticas definidas não tocam nem cruzam o eixo x. Quadráticas indefinidas tocam ou cruzam o eixo x.